Limiti asintoti verticali, orizzontali e obliqui

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Devo calcolare il dominio e gli asintoti di una funzione razionale fratta al numeratore e al denominatore due polinomi di secondo grado.

 

f(x) = (x^2-x+6)/(x^2-2x-3)

 

Potreste aiutarmi per favore? Grazie.

Domanda di Giuseppe

 
Soluzioni

  • Consideriamo la funzione razionale fratta

    f(x) = (x^2-x+6)/(x^2-2x-3)

    e calcoliamone il dominio richiedendo che il denominatore sia diverso da 0, ossia pretendendo che sussista la relazione

    x^2-2x-3 ne0 → x_1 ne-1, x_2 ne 3

    Il dominio è dunque tutto l'asse reale esclusi i due punti determinati

    Dom(f) = (-∞,-1) U (-1,3) U (3,+∞)

    dove il simbolo matematico U indica l'unione tra insiemi. Una volta determinato il dominio procediamo con la classificazione degli eventuali asintoti, mediante il calcolo dei limiti agli estremi del dominio:

    lim_(x → -∞)f(x) ; lim_(x → (-1)^(±))f(x) ; lim_(x → 3^(±))f(x) ; lim_ x → +∞f(x)

    Cominciamo dal primo limite

    lim_(x → -∞)f(x) = lim_(x → -∞)(x^2-x+6)/(x^2-2x-3) =

    il quale genera una forma indeterminata che può essere sciolta raccogliendo a numeratore e a denominatore la potenza di x con l'esponente maggiore.

    = lim_(x → -∞)(x^2(1-(1)/(x)+(6)/(x^2)))/(x^2(1-(2)/(x)-(3)/(x^2))) =

    Semplificando x^2 ed osservando che tutti i termini aventi una potenza di x al denominatore collassano a 0 otteniamo il risultato

    = lim_(x → -∞)(1-(1)/(x)+(6)/(x^2))/(x^2(1-(2)/(x)-(3)/(x^2))) = 1

    Dalla finitezza del limite concludiamo che la funzione ammette un asintoto orizzontale sinistro di equazione

    y = 1

    e per esclusione non può avere un asintoto obliquo sinistro.

    Consideriamo i limiti destro e sinistro per x → -1 partendo dal sinistro

    lim_(x → (-1)^(-))f(x) = lim_(x → (-1)^(-))(x^2-x+6)/(x^2-2x-3) =

    Osserviamo che il denominatore della funzione può essere scomposto come prodotto dei fattori (x+1) e (x-3) e dunque il limite si esprime in forma equivalente

    = lim_(x → (-1)^(-))(x^2-x+6)/((x+1)(x-3)) = [(8)/(0^(-)·(-4))] = +∞

    Il risultato si giustifica mediante l'algebra degli infiniti e infinitesimi. Proponiamo i passaggi con cui calcolare il limite destro

    lim_(x → (-1)^(+))f(x) = lim_(x → (-1)^(+))(x^2-x+6)/(x^2-2x-3) = lim_(x → (-1)^(+))(x^2-x+6)/((x+1)(x-3)) = [(8)/(0^(+)·(-4))] = -∞

    e concludiamo che, poiché i limiti destro e sinistro per x → (-1) sono entrambi infiniti, f(x) ammette un asintoto verticale di equazione x = -1.

    Procediamo con i limiti destro e sinistro per x → 3 usando la stessa idea precedente

    lim_(x → 3^(-))f(x) = lim_(x → 3^(-))(x^2-x+6)/((x+1)(x-3)) = [(12)/(4·0^(-))] = -∞ ; lim_(x → 3^(+))f(x) = lim_(x → 3^(+))(x^2-x+6)/((x+1)(x-3)) = [(12)/(4·0^(+))] = +∞

    Anche in tale occasione i limiti non sono finiti, di conseguenza x = 3 è un ulteriore asintoto verticale bilatero per f(x).

    Infine dedichiamoci al calcolo del limite per x → +∞ il quale genera una forma indeterminata che possiamo risolvere mediante il confronto tra infiniti

    lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)(x^2-x+6)/(x^2-2x-3) = lim_(x → +∞)(x^2(1-(1)/(x)+(6)/(x^2)))/(x^2(1-(2)/(x)-(3)/(x^2))) = lim_(x → +∞)(1-(1)/(x)+(6)/(x^2))/(1-(2)/(x)-(3)/(x^2)) = 1

    Osserviamo che il ragionamento seguito è identico al caso x → -∞, bisogna modificare ciò che deve essere modificato.

    In definitiva, la funzione ammette due asintoti verticali di equazione x = -1 e x = 3 e un asintoto orizzontale bilatero di equazione y = 1, mentre non possiede alcun asintoto obliquo.

    Risposta di Ifrit
 
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