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  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Dato il limite

    \lim_{x\to 0}{\frac{4\mu\sin^{2}{(x)}+5\beta(1-\cos{(x)})}{x^4}}

    Vediamo di scrivere gli sviluppi in serie di Taylor-Mc Laurin (con centro x_0=0) delle funzioni infinitesime che compaiono nel limite. Proviamo arrestando gli sviluppi al secondo ordine:

    \sin^2{(x)}=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^5)

    (1-\cos{(x)})=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+o(x^5)

    Sostituiamo il tutto nel limite, e troviamo

    \lim_{x\to 0}{\frac{4\mu x^2 -\frac{4}{3}\mu x^4+\frac{5}{2}\beta x^2-\frac{5}{24}\beta x^4+o(x^5)}{x^4}}

    Dato che vogliamo annullare il termine quadratico e preservare solamente il termine di quarto grado, dobbiamo richiedere che

    4\mu+\frac{5}{2}\beta=0

    -\frac{4}{3}\mu-\frac{5}{24}\beta=1

    Per cui risulta che il limite vale 1, in quanto riusciamo a semplificare il termine di grado 4 tra numeratore e denominatore. Risolvendo il sistema, troviamo i valori richiesti

    \mu=-1\mbox{, }\beta=\frac{8}{5}

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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