Soluzioni
  • Partiamo dall'equazione data dall'esercizio

    \frac{x^2}{k+2}+\frac{y^2}{2k-1}=1

    Affinché essa rappresenti l'equazione di una circonferenza dobbiamo richiedere che si presenti nella forma

    x^2+y^2=r^2\iff \frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1

    Osserva quindi che i coefficienti di x^2 e di y^2 devono essere positivi e coincidenti. Il nostro k dovrà soddisfare contemporaneamente tre condizioni:

    \begin{cases}k+2>0\\ 2k-1>0\\ \frac{1}{k+2}=\frac{1}{2k-1}\end{cases}

    Studiamo singolarmente le tre condizioni:

    \bullet\,\,k+2>0\iff k>-2

    \bullet\,\,2k-1>0\iff k>\frac{1}{2}

    Sono semplici disequazioni di primo grado

    \bullet\,\,\frac{1}{k+2}=\frac{1}{2k-1}\iff k=3

    Quest'ultima invece è un'equazione fratta di primo grado. La soluzione ottenuta è accettabile perché rispetta i vincoli \frac{1}{2} e -2.

    L'equazione della circonferenza è quindi:

    \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{5}=1

    Affinché l'equazione rappresenti un'iperbole dobbiamo richiedere che l'equazione si presenti nella forma

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

    dove 

    \bullet\,\,a^2=k+2

    \bullet\,\, -b^2=2k-1\implies b^2=1-2k

    Entrambe le quantità al secondo membro devono essere positive, dunque dobbiamo impostare un sistema di disequazioni:

    \begin{cases}k+2>0\\ 1-2k>0\end{cases}

    Occupiamoci delle disequazioni, una alla volta:

    \bullet\,\,k+2>0\iff k>-2

    \bullet\,\, 1-2k>0\iff k<\frac{1}{2}

    Intersecando le soluzioni arriveremo a dire che l'equazione rappresenta un'iperbole che interseca l'asse x se e solo se -2<k<\frac{1}{2}.

    In particolare se a^2=b^2 allora l'iperbole è equilatera. 

    k+2=1-2k\iff 3k=-1\iff k=-\frac{1}{3}

    L'equazione dell'iperbole equilatera è

    \frac{x^2}{\frac{5}{3}}-\frac{y^2}{\frac{5}{3}}=1.

    L'equazione data dall'esercizio può rappresentare un'iperbole che presenta intersezioni con l'asse y, in tal caso l'equazione sarà nella forma

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

    che possiamo riscrivere come

    \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1

    dove:

    \bullet\,\, b^2=2k-1

    \bullet\,\, -a^2=k+2\implies a^2=-2-k

    Affinché rappresenti un'iperbole dobbiamo richiedere che

    \begin{cases}2k-1>0\\ -2-k>0\end{cases}

    che però non ammette soluzioni. Ciò significa che l'equazione non rappresenterà mai un'iperbole equilatera che presenta intersezioni con l'asse y. 

    Dulcis in fundo, l'equazione data rappresenta un'ellisse dovrà presentarsi nella forma:

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    dove 

    a^2=k+2

    b^2=2k-1

    Dobbiamo richiedere che i coefficienti di x^2 e di y^2 siano maggiori di zero.

    \begin{cases}k+2>0\\ 2k-2>0\end{cases}

    Risolvendo il sistema di disequazioni arriveremo alla soluzione

    k>\frac{1}{2}

    Scriviamo per bene le soluzioni:

    Se -2<k<\frac{1}{2}, l'equazione rappresenta un'iperbole che interseca l'asse x, in particolare se k=-\frac{1}{3} l'iperbole è equilatera.

    Se k=\frac{1}{2} l'equazione di partenza perde di significato.

    Se k>\frac{1}{2} l'equazione è quella di un'ellisse, in particolare se k=3 essa rappresenta una circonferenza. 

    Se k=-2 l'equazione perde di significato.

    Se k<-2 il luogo geometrico è vuoto.

    Risposta di Ifrit
 
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