Valore di un parametro e equazione di ellisse, iperbole...

Question

Ciao, c'è un esercizio che non riesco a fare: ho un'equazione con un parametro e devo trovarne i valori per cui essa rappresenta un'ellisse, un'iperbole e un'iperbole equilatera. Potreste aiutarmi? Data l'equazione (x^2)/(k+2)+(y^2)/(2k−1) = 1 trovare il valore di k affinché l'equazione sia l'equazione di un'ellisse, di una circonferenza, di un'iperbole e di un'iperbole equilatera. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Partiamo dall'equazione data dall'esercizio

Affinché essa rappresenti l'equazione di una circonferenza dobbiamo richiedere che si presenti nella forma

Osserva quindi che i coefficienti di e di devono essere positivi e coincidenti. Il nostro k dovrà soddisfare contemporaneamente tre condizioni:

k+2 > 0 ; 2k−1 > 0 ; (1)/(k+2) = (1)/(2k−1)

Studiamo singolarmente le tre condizioni:

Sono semplici disequazioni di primo grado.

Quest'ultima invece è un'equazione fratta di primo grado. La soluzione ottenuta è accettabile perché rispetta i vincoli e .

L'equazione della circonferenza è quindi:

Affinché l'equazione rappresenti un'iperbole dobbiamo richiedere che l'equazione si presenti nella forma

dove

Entrambe le quantità al secondo membro devono essere positive, dunque dobbiamo impostare un sistema di disequazioni:

k+2 > 0 ; 1−2k > 0

Occupiamoci delle disequazioni, una alla volta:

Intersecando le soluzioni arriveremo a dire che l'equazione rappresenta un'iperbole che interseca l'asse x se e solo se .

In particolare se allora l'iperbole è equilatera.

L'equazione dell'iperbole equilatera è

.

L'equazione data dall'esercizio può rappresentare un'iperbole che presenta intersezioni con l'asse y, in tal caso l'equazione sarà nella forma

che possiamo riscrivere come

dove:

Affinché rappresenti un'iperbole dobbiamo richiedere che

2k−1 > 0 ;−2−k > 0

che però non ammette soluzioni. Ciò significa che l'equazione non rappresenterà mai un'iperbole equilatera che presenta intersezioni con l'asse y.

Dulcis in fundo, l'equazione data rappresenta un'ellisse dovrà presentarsi nella forma:

dove

Dobbiamo richiedere che i coefficienti di x^2 e di y^2 siano maggiori di zero.

k+2 > 0 ; 2k−2 > 0

Risolvendo il sistema di disequazioni arriveremo alla soluzione

Scriviamo per bene le soluzioni:

Se , l'equazione rappresenta un'iperbole che interseca l'asse x, in particolare se l'iperbole è equilatera.

Se l'equazione di partenza perde di significato.

Se l'equazione è quella di un'ellisse, in particolare se essa rappresenta una circonferenza.

Se l'equazione perde di significato.

Se il luogo geometrico è vuoto.