Soluzioni
  • Procediamo con il metodo delle curve di livello: si tratta di intersecare la funzione

    z=f(x,y)=x^2+y^2+x

    con piani paralleli all'asse delle xy, dunque della forma

    z=k

    Confrontando le quote raggiunte dalla funzione con la generica quota del piano z=k, dove k\in\mathbb{R} è una costante reale, troviamo

    x^2+y^2+x=k

    Il primo membro ci ricorda tanto una circonferenza nel piano, quindi cerchiamo di completare il quadrato della x, perché è l'unica variabile che ha un termine di grado uno oltre al termine quadratico:

    x^2+x+\frac{1}{4}+y^2-\frac{1}{4}=k

    che riscriviamo come

    \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=k+\frac{1}{4}

    La precedente equazione ci dice che la funzione interseca i piani z=k in circonferenze di centro \left(\frac{1}{2},0\right). Ok, ma per quali valori di k?

    L'unica condizione ci viene fornita dal fatto che il termine noto, a destra, è il quadrato del raggio della circonferenza: r^2. Non potendo essere un quadrato negativo, richiediamo che

    k+\frac{1}{4}\geq 0

    da cui

    k\geq -\frac{1}{4}

    e quindi per tali valori di quota abbiamo sempre intersezioni tra il piano z=k ed il grafico della funzione. Morale della favola: la funzione ha codominio

    \left[-\frac{1}{4},+\infty\right)

    ed è illimitata superiormente.

    Se dovessi avere dei dubbi, non esitare a chiedere Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Perfetto fin qui ho capito. Però se invece avessi dovuto determinare i valori della stessa funzione in x^2+y^2<=1 che avrei dovuto fare?

    Risposta di Lely91
  • Niente di più e niente di meno che prendere l'intersezione dell'immagine con l'intervallo (-\infty,1], trovando quindi

    \left[-\frac{1}{4},+\infty \right)\cap (-\infty,1]=\left[-\frac{1}{4},1\right]

    Namasté!

    Risposta di Omega
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