Soluzioni
  • Ciao lely91 il tempo di pensarci e arrivo.

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo una funzione in due variabili:

     

    f(x, y)= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}

     

    Per mostrare che è limitata, potremmo pensare di passare in coordinate polari:

    x=\rho\cos\theta

    y=\rho\sin\theta

    con \rho\ge 0 e  \theta\in [0, 2\pi)

     

    Facendo le opportune sostituzioni otteniamo:

     

    \hat{f}(\rho, \theta)= \frac{\rho \cos\theta}{\sqrt{\rho^2\cos^2\theta+\rho\sin^2\theta}}=

    =\frac{\rho\cos\theta}{\rho}= \cos\theta

    Di conseguenza abbiamo che:

     

    |\hat{f}(\rho, \theta)|=|\cos\theta|\le 1\quad\forall\theta\in [0, 2\pi)

    Cioè la funzione di due variabili in \rho, \theta è limitata così come la funzione originale nel suo dominio.

    Un altro metodo:

    |x|\le \sqrt{x^2+y^2}\quad\forall x, y\in \mathbb{R}\implies

    \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \frac{1}{|x|}\quad\forall x,y\in \mathbb{R} tale che x^2+y^2\ne 0

    Ora:

    |f(x, y)|= \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}} e per l'osservazione precedente:

    |f(x, y)|= \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \frac{|x|}{|x|}=1

    Cioè la funzione è limitata nel suo dominio dalla costante 1

    Se hai domande siamo qui :)

    Risposta di Ifrit
 
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