Soluzioni
  • Ciao Tatasala, cosa intendi con metodo canonico? Si può fare in tanti modi...Appena mi rispondi, risolviamo subito!

    Risposta di Omega
  • Ciao e grazie per avermi risposto così subito. Una prima parte dell'esercizio sono riuscito a risolverla, elenco i passi del procedimento che ho effettuato:

    1) Ho calcolato per prima cosa le matrici associate:
    A=((1 −2)(−2 0)) ed A′=((1 −2 3)(−2 0 −1)(3 −1 1))
    di seguito ho calcolato gli invarianti ortogonali per determinare il tipo di conica:
    I3=detA′=7≠0 si tratta di una conica non degenere
    I2=detA−4<0 iperbole.

    A questo punto per ottenere la forma canonica di una conica non degenere, in questo caso un'iperbole, bisogna eseguire due trasformazioni che sono la rotazione e la traslazione.

    Il mio problema è che non ho ben capito il procedimento che bisogna effettuare per la rotazione e la traslazione.

    Risposta di Tatasala
  • Ciao Tatasala, ti racconto il prcedimento, se poi hai problemi con i conti scrivi ancora senza problemi.

     

    La forma generale di una conica ruotata e traslata è

     

    ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0

     

    grazie al calcolo degli invarianti hai stabilito che è un'iperbole, sia il risultato che il procedimento che hai seguito sono assolutamente corretti.

     

    Sostanzialmente adesso dobbiamo prima ruotare e poi traslare la conica. Il primo passo è annullare il coefficiente del termine in xy, cioè quello che determina la rotazione della conica. Per farlo dovrai diagonalizzare la matrice che hai usato per calcolare I2, cioè, sempre utilizzando la forma generale della conica, la matrice che ha per riche R1=[a,b] e R2=[b,c].

     

    Per farlo puoi utilizzare il polinomio caratteristico det(B-λI)=0, oppure, visto che la matrice è solo 2x2 risolvere direttamente

     

    A·I=D

     

    dove D è una matrice diagonale generica, risolvendo il sistema troverai gli autovalori.

     

    Fatto questo e chiamati gli autovalori λ1 e λ2 l'equazione della tua conica si riduce alla forma

     

    λ1x22y2+2dx+2ey+f=0

     

    Non resta che traslarla, lo facciamo utilizzando ancora gli invarianti, infatti possiamo riscrivere la conica come

     

    λ1x22y23=0

     

    calcolando λ3 come rapporto

     

    λ3 = (I3)/(I2)

     

    Determinanti che avevi già calcolato precedentemente. Solo una cosa, sei sicura del determinante di I3 ? A me viene -17.

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha
  • Ho controllato ed il determinante I3 risulta=7.

    Ho proseguito con il procedimento da te descritto nel seguente modo:

    Calcolo polinomio caratteristico di A:

    pA(λ)=det((1-λ -2),(-2 0-λ))= (1-λ)*(0-λ)-4= λ^2-λ-4

    Da cui ottengo il discriminante Δ=17

    quindi gli autovalori risultano essere:

    λ1=(1+√(17))/2 e quindi λ2=(1-√(17))/2

    Una volta ottenuti gli autovalori e sapendo che la forma generale di una conica ruotata e traslata è:

    ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0

    la conica si riduce nella forma:

     

    ((1+√(17))/2)x^2+((1-√(17))/2)y^2+12x-4y+1=0

    essendo nel mio caso y^2=0 allora l'equazione sarà:

    ((1+√(17))/2)x^2+12x-4y+1=0

     

    Calcolo Traslazione:

    possiamo riscrivere la conica come

    λ1x22y23=0  quindi sostituendo i valori con quelli del mio esercizio e ponendo yì2=0 e λ3=(I3/I2)=-(7/4) avremo:

    ((1+√(17))/2)x^2-(7/4)=0 

    Spero di aver seguito bene il procedimento, in caso contrario sareste così gentili da postare il procedimento con i calcoli svolti? Vi ringrazio davvero tanto.

    Risposta di Tatasala
  • Il procedimento va benissimo, perfetto!

    Risposta di Alpha
  • Ho capito che ci sono un sacco di modi per risolvere le coniche, e questo è uno.

    Per quanto riguarda le tangenti passanti per l'origine come posso procedere?

    Risposta di Tatasala
  • Scusami, mi ero dimenticato della seconda parte dell'esercizio!

     

    Allora, la retta deve passare per l'origine, quindi sarà della forma

     

    y=mx

     

    a questo punto è sufficiente metterla a sistema con l'equazione dell'iperbole:

     

    y=mx

     

    e

     

    x2−4xy+6x−2y+1=0

     

    Sostituendo otterrai una equazione in x dipendente dal paramtetro m:

     

    x2−4x(mx)+6x−2(mx)+1=0

     

    (1-4m)x2+2(3-m)x+1=0

     

    L'equazione è di secondo grado. La condizione che ti permette di trovare m è che tale equazione abbia discriminante nullo.

    Risposta di Alpha
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Algebra Lineare