Soluzioni
  • \lim_{x\rightarrow-1^+}e^{\frac{1}{x^4-1}-1}

    Risposta di 904
  • il -1 sta giù non all'esponente

    Risposta di 904
  • Eccomi, ciao 904 il tempo di scrivere la risposta e sono da te :)

    Risposta di Ifrit
  • Quindi l'esercizio è:

    \lim_{x\to -1} e^{\frac{1}{x^4-1}}-1

     

    dobbiamo valutare il limite destro e il limite sinistro, corretto?

    Risposta di Ifrit
  • Immagino che sia la traccia corretta, visto che mi tornano i tuoi risulati.

    \lim_{x\to -1^+}e^{\frac{1}{x^4-1}}-1

    In questo caso la x tende a -1 da destra, cioè per valori più grandi di -1, tienilo a mente ci servirà!

    Concentriamoci per un momento al'esponente il quale crea problemi e consideriamo il limite:

    \lim_{x\to -1^+}\frac{1}{x^4-1}=\lim_{x\to -1^+}\frac{1}{(x^2+1)(x^2-1)}=

    \lim_{x\to -1^+}\frac{1}{x^2+1}\,\,\frac{1}{x-1}\,\, \frac{1}{x+1}}

    Devi valutare il segno nell'intorno destro di -1 (cioè per valori più grandi di -1) dei fattori che compongono il limite:

    \frac{1}{x^2+1}>0

    per ogni x>-1

     

    \frac{1}{x-1}<-1

    per -1

    x<1

    \frac{1}{x+1}>0

    per ogni x>-1

     

    Quindi 

    \lim_{x\to -1^+}\frac{1}{x^2+1}\,\,\frac{1}{x-1}\,\, \frac{1}{x+1}}= [1/2*-\infty*+\infty]= -\infty

    Pertanto:

    \lim_{x\to -1^+}e^{\frac{1}{x^4-1}}-1= [e^{-\infty}-1]= 0-1= -1

    Ripercorriamo lo stesso ragionamento ma questa volta nell'intorno sinistro di -1 (cioè per valori più piccoli di -1)

    \lim_{x\to -1^-}\frac{1}{x^4-1}=\lim_{x\to -1^-}\frac{1}{(x^2+1)(x^2-1)}=

    \lim_{x\to -1^-}\frac{1}{x^2+1}\,\,\frac{1}{x-1}\,\, \frac{1}{x+1}}

    Devi valutare il segno nell'intorno sinistro di -1 (cioè per valori più piccoli di -1) dei fattori che compongono il limite:

    \frac{1}{x^2+1}>0

    per ogni x<-1

     

    \frac{1}{x-1}<0

    per ogni x<-1

     

    \frac{1}{x+1}<-1

    per ogni x<-1

     

    Quindi 

    \lim_{x\to -1^-}\frac{1}{x^2+1}\,\,\frac{1}{x-1}\,\, \frac{1}{x+1}}= [1/2*-\infty*-\infty]=+\infty

    Possiamo concludere che:

    \lim_{x\to -1^-}e^{\frac{1}{x^4-1}}-1= [e^{+\infty}-1]= +\infty

    All'inizio può sembrare un ragionamento astruso, ma poi ci si abitua :)

     

     

     

    Risposta di Ifrit
 
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