Formule parametriche per trasformare un'espressione goniometrica

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Salve mi potreste aiutare con un esercizio sulle formule parametriche? Il mio prof ci ha assegnato gli esercizi senza spiegarsi come farli, e devo appunto usare le formule parametriche per manipolare un'espressione goniometrica con il coseno e il seno.

 

Trasformare in t=tg(α/2) la seguente espressione:

 

2 senα + cosα + 1

senα

 

Il risultato è [2t + 1/t] ... Vi prego siate così tanto clementi da spiegarmi passo per passo come risolvere espressioni di questo tipo...

Domanda di Jumpy

 
Soluzioni

  • Ciao Jumpy, il tempo di pensarci e arrivo :)

    Risposta di Ifrit

  • Prima di procedere però come al solito mi devi dare la conferma:

    (2sinα+cosα+1)/(sinα)

    E' corretto?

    Risposta di Ifrit

  • yes

    Risposta di Jumpy

  • Ok, cominciamo! Si può dimostrare che:

    • sin α = (2tan(α)/(2))/(1+tan^2(α)/(2))

    • cosα = (1-tan^2(α)/(2))/(1+tan^2(α)/(2))

    La dimostrazione di queste identità non è difficile, ma richiedono un po' di tempo per essere scritte, quindi ci limitiamo a mostrarle.

    Ponendo t = tan(α)/(2), le precedenti identità diventano proprio le formule parametriche per seno e coseno

    sin α = (2t)/(1+t^2)

    cosα = (1-t^2)/(1+t^2)

    A questo punto sostituiamo nella espressione da te scritta e facciamo un po' di conti.

    (2sinα+cosα+1)/(cosα) = (2((2t)/(1+t^2))+(1-t^2)/(1+t^2)+1)/((2t)/(1+t^2))

    Abbiamo una frazione a castello, dobbiamo stare molto attenti. Cominciamo con calma a fare i conti:

    (2((2t)/(1+t^2))+(1-t^2)/(1+t^2)+1)/((2t)/(1+t^2))

    ((4t)/(1+t^2)+(1-t^2)/(1+t^2)+1)/((2t)/(1+t^2))

    il Minimo comune multiplo al numeratore principale è 1+t^2

    ((4t+1-t^2+1+t^2)/(1+t^2))/((2t)/(1+t^2))

    Sommiamo i termini simili:

    ((4t+2)/(1+t^2))/((2t)/(1+t^2))

    A questo punto trasformiamo la frazione in moltiplicazione facendo il reciproco del denominatore principale cioè:

    (4t+2)/(1+t^2)×(1+t^2)/(2t)

    Semplifichiamo il termine 1+t^2 ottendo:

    (4t+2)/(2t)

    Mettiamo in evidenza il 2:

    (2(2t+1))/(2t)

    semplifichiamo il 2 e otteniamo:

    (2t+1)/(t)

     

    che è il risultato richiesto :)

    Risposta di Ifrit
 
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