Soluzioni
  • Ciao Jumpy, il tempo di pensarci e arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Prima di procedere però come al solito mi devi dare la conferma:

    \frac{2\sin\alpha +\cos\alpha+1}{\sin\alpha}

    E' corretto?

    Risposta di Ifrit
  • yes

    Risposta di Jumpy
  • Ok, cominciamo! Si può dimostrare che:

    \sin \alpha =\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}

    \cos\alpha = \frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}

    La dimostrazione di queste identità non è difficile, ma richiedono un po' di tempo per essere scritte, quindi ci limitiamo a mostrarle.

    Ponendo t=\tan\frac{\alpha}{2}, le precedenti identità diventano proprio le formule parametriche per seno e coseno

    \sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2}

    \cos\alpha= \frac{1-t^2}{1+t^2}

    A questo punto sostituiamo nella espressione da te scritta e facciamo un po' di conti.

    \frac{2\sin\alpha+\cos\alpha+1}{\cos\alpha}=\frac{2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)+\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}{\frac{2t}{1+t^2}}

    Abbiamo una frazione a castello, dobbiamo stare molto attenti. Cominciamo con calma a fare i conti:

    \frac{2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)+\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}{\frac{2t}{1+t^2}}

    \frac{\frac{4t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}+1}{\frac{2t}{1+t^2}}

    il Minimo comune multiplo al numeratore principale è 1+t^2

    \frac{\frac{4t+1-t^2+1+t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}

    Sommiamo i termini simili:

    \frac{\frac{4t+2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}

    A questo punto trasformiamo la frazione in moltiplicazione facendo il reciproco del denominatore principale cioè:

    \frac{4t+2}{1+t^2}\times\frac{1+t^2}{2t}}

    Semplifichiamo il termine 1+t^2 ottendo:

    \frac{4t+2}{2t}

    Mettiamo in evidenza il 2:

    \frac{2(2t+1)}{2t}

    semplifichiamo il 2 e otteniamo:

    \frac{2t+1}{t}

     

    che è il risultato richiesto :)

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra