Soluzioni
  • Prima di svolgere l'esercizio è opportuno riportare un breve ripasso teorico che riguarda la cardinalità di un insieme finito.

    Cardinalità di insiemi finiti e proprietà

    La cardinalità di un insieme finito E è il numero di elementi che compone l'insieme

    \mbox{Card}(E)=\ \mbox{numero di elementi di }E

    Se E è un insieme di cardinalità n\in\mathbb{N}, allora l'insieme delle parti di E, ossia l'insieme di tutti i sottoinsiemi di E, ha cardinalità 2^n, e viceversa.

    \mbox{Card}(E)=n \ \iff \ \mbox{Card}(\mathcal{P}(E))=2^{n}

    Se E\ \mbox{e} \ F sono due insiemi di cardinalità n\ \mbox{e} \ m, allora la cardinalità del prodotto cartesiano E\times F è n\cdot m

    \mbox{Se} \ \mbox{Card}(E)=n\ \mbox{e} \ \mbox{Card}(F)=m \ \implies \ \mbox{Card}(E\times F)=n\cdot m

    Infine se E è un insieme di n elementi, allora il numero di sottoinsiemi di E con esattamente k elementi è dato dal coefficiente binomiale

    {{n}\choose{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \ \ \ \mbox{con} \ 0\le k\le n

    dove n!,k!,(n-k)! denotano rispettivamente il fattoriale di n, di k! e quello di n-k.

    Dopo le dovute premesse, occupiamoci dell'esercizio.

    Svolgimento dell'esercizio

    Consideriamo gli insiemi A,B,C,D tali che:

    \\ \mbox{Card}(\mathcal{P}(A))=64 \\ \\ \mbox{Card}(\mathcal{P}(B))=32 \\ \\ \mbox{Card}(\mathcal{P}(C))=2\\ \\ \mbox{Card}(\mathcal{P}(D))=1

    ed esaminiamo ciascuna delle seguenti proposizioni.

    (a) A ha 2^{4} sottoinsiemi di cardinalità 4

    Per ipotesi sappiamo che \mbox{Card}(\mathcal{P}(A))=64, pertanto il numero n di elementi di A deve necessariamente soddisfare l'equazione

    2^{n}=\mbox{Card}(\mathcal{P}(A))=64 \ \ \ \to \ \ \ 2^{n}=64

    da cui segue che la cardinalità di A è n=6. Il numero di sottoinsiemi di A che hanno cardinalità 4 coincide con il coefficiente binomiale

    \\ {{6}\choose{4}}=\frac{6!}{4!(6-4)!}= \\ \\ \\ =\frac{6!}{4!\cdot 2!}=\\ \\ \\ =\frac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 2}=\frac{6\cdot 5}{2}=15

    pertanto che l'asserzione è falsa.

    (b) D è incluso in A

    Se la cardinalità dell'insieme delle parti di D è uguale a 1, allora necessariamente la cardinalità di D è necessariamente uguale a 0. Ciò significa che D non ha elementi e coincide con l'insieme vuoto. Poiché l'insieme vuoto è un sottoinsieme di qualsiasi insieme, possiamo affermare che D è un sottoinsieme di A: la proposizione è vera.

    (c) B ha 10 sottoinsiemi di cardinalità 3

    Procediamo esattamente come nel punto (a). Poiché la cardinalità dell'insieme delle parti di B vale 32=2^{5}, allora la cardinalità di B è 5

    \mbox{Card}(\mathcal{P}(B))=32=2^5 \ \implies \ \mbox{Card}(B)=5

    Il numero di sottoinsiemi di B che hanno cardinalità 3 è dato dal coefficiente binomiale

    \\ {{5}\choose{3}}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\\ \\ \\ =\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10

    per cui la proposizione è vera.

    (d) C non ha sottoinsiemi di cardinalità 2

    Per ipotesi la cardinalità dell'insieme delle parti di C è uguale a 2, necessariamente la cardinalità di C è 1: è quindi formato da un unico elemento, per cui non può avere sottoinsiemi di cardinalità 2.

    (e) \mbox{Card}(\mathcal{P}(A\times C))=2^{6}

    Sappiamo che la cardinalità di A è 6, mentre quella dell'insieme C è 1, di conseguenza la cardinalità del prodotto cartesiano A\times C è data dal prodotto 6\cdot 1=6

    \mbox{Card}(A\times C)=6

    Alla luce di ciò, la cardinalità dell'insieme delle parti di A\times C è 2^{6}

    \mbox{Card}(\mathcal{P}(A\times C))=2^{\mbox{Card}(A\times C)}=2^{6}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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