Soluzioni
  • Ciao Mery, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Calma e gesso, e cerchiamo di analizzare per bene ognuna delle tre affermazioni.

    Siamo in Mat(3,\mathbb{R}), lo spazio delle matrici di ordine 3 a coefficienti reali (non è specificato il campo su cui si considerano le matrici, suppongo che sia \mathbb{R})

    1) Se AB=A allora B=I è la matrice identità

    Vero! dato che l'affermazione AB=A vale comunque si prenda una matrice A\in Mat(3,\mathbb{R}) allora B=I è l'elemento neutro rispetto al prodotto di matrici. Questo a patto che la matrice A sia non identicamente nulla.

    2) Esistono A e B non invertibili tali che AB è invertibile.

    Per far vedere che l'affermazione considerata è falsa, dal teorema di Binet osserviamo che, se per assurdo esistessero A,B con una delle due non invertibile e tali che AB è una matrice invertibile, allora

    det(AB)\neq 0

    poichè invertibile, d'altra parte supponendo che sia A la matrice non invertibile

    det(A)=0

    ed essendo B invertibile

    det(B)\neq 0

    allora dal teorema di Binet (il determinante del prodotto di matrici è uguale al prodotto dei determinanti delle singole matrici)

    0\neq det(AB)=det(A)det(B)=0

    3) Se B =A^{-1} 

    e

    |C| = \frac{1}{4}

    allora |2ABC| = 2

    Falso, in quanto

    2ABC=2AA^{-1}C=2I\cdot C=2C

    quindi

    |2ABC|=|2C|=2|C|=2\frac{1}{4}=\frac{1}{2}

    Se dovessi avere dei dubbi, non esitare a chiedere

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Sei molto chiaro,... non mi lasci dubbi......Laughing

    Risposta di mery
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