Soluzioni
  • I polinomi

    \\ p_1(x)=2+kx+x^3 \ \ \ ; \ \ \ p_2(x)=1-x+2x^3 \\ \\ p_3(x)=1+x-2x^2+(k+1)x^3 \ \ \ ; \ \ \ p_4(x)=x-2x^2+x^3

    sono linearmente indipendenti tra loro se e solo se presi quattro scalari \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4 \in \mathbb{R} e imponendo che sia

    \lambda_1 p_1(x)+\lambda_2 p_2(x)+\lambda_3 p_3(x)+\lambda_4 p_4(x) = 0

    l'uguaglianza è soddisfatta solo per \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0.

    Scriviamo ciascun polinomio per esteso

    \\ \lambda_1(2+kx+x^3) + \lambda_2(1-x+2x^3) + \\ \\ + \lambda_3(1+x-2x^2+(k+1)x^3) + \lambda_4(x-2x^2+x^3)=0

    Svolgiamo i prodotti

    \\ 2\lambda_1+k\lambda_1x+\lambda_1x^3 + \lambda_2-\lambda_2x+2\lambda_2x^3 + \\ \\ + \lambda_3+\lambda_3x-2\lambda_3x^2+(k+1)\lambda_3x^3 + \lambda_4x-2\lambda_4x^2+\lambda_4x^3=0

    e scriviamo il polinomio a primo membro in forma normale

    \\ 2\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+(k\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)x + \\ \\ + (-2\lambda_3-2\lambda_4)x^2 + (\lambda_1+2\lambda_2+(k+1)\lambda_3+\lambda_4)x^3=0

    Per il principio di identità dei polinomi l'uguaglianza è soddisfatta se i coefficienti del polinomio a primo membro sono nulli, per cui dev'essere

    \begin{cases}2\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0 \\ k\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4 = 0 \\ -2\lambda_3-2\lambda_4=0 \\ \lambda_1+2\lambda_2+(k+1)\lambda_3+\lambda_4 = 0\end{cases}

    Abbiamo così ottenuto un sistema lineare parametrico nelle incognite \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4.

    Non perdiamo di vista l'obiettivo e facciamo il punto della situazione: per determinare i valori di k per cui p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x) sono linearmente indipendenti abbiamo imposto che una loro generica combinazione lineare fosse uguale al polinomio nullo e abbiamo ottenuto un sistema lineare omogeneo e parametrico le cui incognite sono i coefficienti della combinazione lineare.

    Alla luce di ciò p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x) sono linearmente indipendenti per quei valori di k per cui il sistema ammette come unica soluzione quella banale

    (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4) = (0,0,0,0)

    Per il teorema di Rouché Capelli, l'unica soluzione del sistema è quella banale se il rango della matrice incompleta a esso associata è uguale al numero delle incognite, che sono quattro. Tale matrice è

    A=\begin{pmatrix}2&1&1&0 \\ k&-1&1&1 \\ 0&0&-2&-2 \\ 1&2&k+1&1\end{pmatrix}

    e ha rango pari a 4 se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Calcoliamolo con uno sviluppo di Laplace riferito alla terza riga, in quanto ha due termini nulli

    \\ \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&1&0 \\ k&-1&1&1 \\ 0&0&-2&-2 \\ 1&2&k+1&1\end{pmatrix} = \\ \\ = (-1)^{3+3} \cdot a_{33} \cdot \mbox{det}(A_{33}) + (-1)^{3+4} \cdot a_{34} \cdot \mbox{det}(A_{34})

    A_{33} e A_{34} sono le sottomatrici 3 \times 3 che si ottengono da A eliminandone, rispettivamente, la terza riga con la terza colonna e la terza riga con quarta colonna.

    Onde evitare di fare pastrocchi calcoliamo separatamente i determinanti di A_{33} e A_{34} con la regola di Sarrus.

    \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&0 \\ k&-1&1 \\ 1&2&1\end{pmatrix} = \\ \\ = 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 - ( 0 + 1 \cdot k \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 2) = \\ \\ = -2 + 1 - (k+4) = -k-5 \\ \\ \\ \mbox{det}\begin{pmatrix}2&1&1 \\ k&-1&1 \\ 1&2&k+1\end{pmatrix} = \\ \\ = 2 \cdot (-1) \cdot (k+1) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot k \cdot 2 + \\ \\ - [1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot k \cdot (k+1) + 2 \cdot 1 \cdot 2]= \\ \\ = -2k-2+1+2k-(-1+k^2+k+4) = \\ \\ = -1-k^2-k-3 = -k^2-k-4

    Riprendiamo il calcolo del determinante di A

    \\ \mbox{det}(A)= (-1)^{3+3} \cdot a_{33} \cdot \mbox{det}(A_{33}) + (-1)^{3+4} \cdot a_{34} \cdot \mbox{det}(A_{34}) = \\ \\ = (-1)^6 \cdot (-2) \cdot (-k-5) + (-1)^7 \cdot (-2) \cdot (-k^2-k-4) = \\ \\ = 2k+10-2k^2-2k-8 = \\ \\ = -2k^2+2 = -2(k^2-1)

    Tale determinante si annulla per k = \pm 1, per cui il rango di A è uguale a 4 per ogni k \neq \pm 1.

    In definitiva, il sistema ha come unica soluzione quella banale, e quindi i polinomi sono linearmente indipendenti, per ogni k \in \mathbb{R} - \{-1,1\}.

    Ecco fatto!

    Risposta di Galois
 
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