Esercizio su dipendenza di un vettore da un sistema

Question

Chiedo il vostro aiuto per risolvere un esercizio sull'indipendenza lineare tra polinomi, che chiede di calcolare i valori reali di un parametro per cui quattro polinomi sono linearmente indipendenti. Si determinino i valori reali del parametro k tali per cui i polinomi ; p_1(x) = 2+kx+x^3 ; p_2(x) = 1−x+2x^3 ; p_3(x) = 1+x−2x^2+(k+1)x^3 ; p_4(x) = x−2x^2+x^3 sono linearmente indipendenti tra loro.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

I polinomi ; p_1(x) = 2+kx+x^3 ; p_2(x) = 1−x+2x^3 ; p_3(x) = 1+x−2x^2+(k+1)x^3 ; p_4(x) = x−2x^2+x^3 sono linearmente indipendenti tra loro se e solo se presi quattro scalari λ_1, λ_2, λ_3, λ_4 ∈ R e imponendo che sia λ_1 p_1(x)+λ_2 p_2(x)+λ_3 p_3(x)+λ_4 p_4(x) = 0 l'uguaglianza è soddisfatta solo per λ_1 = λ_2 = λ_3 = λ_4 = 0. Scriviamo ciascun polinomio per esteso ; λ_1(2+kx+x^3)+λ_2(1−x+2x^3)+;+λ_3(1+x−2x^2+(k+1)x^3)+λ_4(x−2x^2+x^3) = 0 Svolgiamo i prodotti ; 2λ_1+kλ_1x+λ_1x^3+λ_2−λ_2x+2λ_2x^3+;+λ_3+λ_3x−2λ_3x^2+(k+1)λ_3x^3+λ_4x−2λ_4x^2+λ_4x^3 = 0 e scriviamo il polinomio a primo membro in forma normale ; 2λ_1+λ_2+λ_3+(kλ_1−λ_2+λ_3+λ_4)x+;+(−2λ_3−2λ_4)x^2+(λ_1+2λ_2+(k+1)λ_3+λ_4)x^3 = 0 Per il principio di identità dei polinomi l'uguaglianza è soddisfatta se i coefficienti del polinomio a primo membro sono nulli, per cui dev'essere 2λ_1+λ_2+λ_3 = 0 ; kλ_1−λ_2+λ_3+λ_4 = 0 ;−2λ_3−2λ_4 = 0 ; λ_1+2λ_2+(k+1)λ_3+λ_4 = 0 Abbiamo così ottenuto un sistema lineare parametrico nelle incognite λ_1,λ_2,λ_3,λ_4. Non perdiamo di vista l'obiettivo e facciamo il punto della situazione: per determinare i valori di k per cui p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x) sono linearmente indipendenti abbiamo imposto che una loro generica combinazione lineare fosse uguale al polinomio nullo e abbiamo ottenuto un sistema lineare omogeneo e parametrico le cui incognite sono i coefficienti della combinazione lineare. Alla luce di ciò p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x) sono linearmente indipendenti per quei valori di k per cui il sistema ammette come unica soluzione quella banale (λ_1, λ_2, λ_3, λ_4) = (0,0,0,0) Per il teorema di Rouché Capelli, l'unica soluzione del sistema è quella banale se il rango della matrice incompleta a esso associata è uguale al numero delle incognite, che sono quattro. Tale matrice è A = [2 1 1 0 ; k −1 1 1 ; 0 0 −2 −2 ; 1 2 k+1 1] e ha rango pari a 4 se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Calcoliamolo con uno sviluppo di Laplace riferito alla terza riga, in quanto ha due termini nulli ; det(A) = det[2 1 1 0 ; k −1 1 1 ; 0 0 −2 −2 ; 1 2 k+1 1] = (−1)^(3+3)·a_(33)·det(A_(33))+(−1)^(3+4)·a_(34)·det(A_(34)) A_(33) e A_(34) sono le sottomatrici 3×3 che si ottengono da A eliminandone, rispettivamente, la terza riga con la terza colonna e la terza riga con quarta colonna. Onde evitare di fare pastrocchi calcoliamo separatamente i determinanti di A_(33) e A_(34) con la regola di Sarrus. ; det[2 1 0 ; k −1 1 ; 1 2 1] = 2·(−1)·1+1·1·1+0−(0+1·k·1+2·1·2) = −2+1−(k+4) = −k−5 ; det[2 1 1 ; k −1 1 ; 1 2 k+1] = 2·(−1)·(k+1)+1·1·1+1·k·2+;−[1·(−1)·1+1·k·(k+1)+2·1·2] = −2k−2+1+2k−(−1+k^2+k+4) = −1−k^2−k−3 = −k^2−k−4 Riprendiamo il calcolo del determinante di A ; det(A) = (−1)^(3+3)·a_(33)·det(A_(33))+(−1)^(3+4)·a_(34)·det(A_(34)) = (−1)^6·(−2)·(−k−5)+(−1)^7·(−2)·(−k^2−k−4) = 2k+10−2k^2−2k−8 = −2k^2+2 = −2(k^2−1) Tale determinante si annulla per k = ±1, per cui il rango di A è uguale a 4 per ogni k ≠±1. In definitiva, il sistema ha come unica soluzione quella banale, e quindi i polinomi sono linearmente indipendenti, per ogni k ∈ R−−1,1. Ecco fatto!