Soluzioni
  • Ciao Povi, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Vediamo come risolvere l'esercizio. Il primo punto è facile: essendo il sistema di vettori

    \left\{\left[\begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}1 \\ -1 \\ 2 \\ 0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}1 \\ 1 \\ -2 \\ k+1\end{matrix}\right]\right\}

    Per fare in modo che il vettore

    \left[\begin{matrix}3 \\ 1 \\ -2 \\ 4\end{matrix}\right]

    dipenda (linearmente) dai vettori del sistema considerati è sufficiente considerare la matrice A avente per colonne i vettori del sistema dato e come quarta colonna il vettore dato. A questo punto è sufficiente studiare il determinante di tale matrice: i valori di k che lo annullano sono i valori che rendono il quarto vettore dipendente dagli altri tre.

    Ti torna? Sai come calcolare il determinante di una matrice 4x4?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ma quando considero la matrice devo cambiare i segni dei termini noti? E poi elimino la linea che faccio tra la terza e quarta colonna.

    Risposta di povi
  • Ne deduco che hai deciso di procedere con uno sviluppo di Laplace per colonne...Potresti essere più preciso nel presentare il problema? Oppure passiamo direttamente allo sviluppo, e tagliamo la testa al toro? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Io ho provato con Laplace e alla colonna dei termini noti ho cambiato di segno. Ho perso un pò di tempo il valore di K che mi annulla il determinante è -5/4.Come posso fare per vedere se è giusto?

    Risposta di povi
  • A me risulta che il determinante è zero per ogni valore di k che si sceglie. Puoi ricontrollare i conti?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Per vedere se hai fatto giusto fai la combinazione lineare dei vettori della matrice e devi ritrovarti con il tuo vettore w. Quindi vuol dire risolvere questo sistema

    \alpha(2\ 0\ 0\ 1)+\beta(1\ -1\ 2\ 0)+\gamma\left(1\ 1\ -2\ -\frac{1}{4}\right)=(3\ 1 \-2\ 4)

    Che ti da

    \left\{\begin{matrix}2\alpha+\beta+\gamma=3\\-\beta+\gamma=1\\2\beta-2\gamma=-2\\ \alpha-\frac{1}{4}\gamma=4\end{matrix}

    Se ottieni tutti i valori =0 allora hai sbagliato se no il tuo risultato è corretto.

    Risposta di thejunker
  • Ma alla quarta colonna devo cambiare i segni?

    Risposta di povi
  • ma in quale passo dovresti cambiare i segni della 4°colonna?

    Risposta di thejunker
  • Quando dai 3 vettori passo alla matrice associata e metto il terzo vettore nella colonna dei termini noti. Di solito metto la linea (in questo caso tra la terza e quarta colonna) e metto il vettore w. Ora per togliere questa linea devo cambiaere di segno 3 1 -2 e 4?

     

    Risposta di povi
  • no, perchè dovresti, la linea che metti è per indicare che da una matrice nxn passi ad una altra.

    Occhio a non confondersi con il teorema di Rouché Capelli....

     

    Risposta di thejunker
  • Saresti così gentile da rappresentarmi la matrice di cui devo calcolare il determinante?

    Risposta di povi
  • ma certo eccola:

    \left[\begin{matrix}2 &1 & 1 & 3\\ 0& -1& 1& 1\\0 &2 &-2& -2\\1& 0 &-\frac{1}{4}& 4\end{matrix}\right]

     

    E' un po'tanto brutta da vedere ma è questa Laughing

    Risposta di thejunker
  • Non riesco a calcolare il determinante. K mi viene uguale a 2 :s non capisco dove sbaglio.

    Risposta di povi
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