Soluzioni
  • Per passare dalla rappresentazione cartesiana di una retta a una sua rappresentazione parametrica basta determinare le soluzioni del sistema lineare che definisce la retta ed esprimerle in forma vettoriale.

    Cominciamo dalle equazioni cartesiane della retta r

    r:\ \begin{cases}2x-y+z-1=0\\ x-y+3z-4=0\end{cases}

    e determiniamo le soluzioni del sistema avvalendoci, ad esempio, del metodo di sostituzione. Usiamo la prima equazione per isolare z al primo membro

    \begin{cases}z=1-2x+y\\ x-y+3z-4=0\end{cases}

    dopodiché sostituiamo z=1-2x+y nella seconda

    \begin{cases}z=1-2x+y\\ x-y+3(1-2x+y)-4=0\end{cases}

    da cui

    \begin{cases}z=1-2x+y\\ -5x+2y-1=0\end{cases}

    Usiamo la seconda relazione per esprimere y in termini di x

    \begin{cases}z=1-2x+y\\ \\ y=\dfrac{1+5x}{2}\end{cases}

    e sostituiamo all'indietro

    \begin{cases}z=1-2x+\dfrac{1+5x}{2}\\ \\ y=\dfrac{1+5x}{2}\end{cases}

    Svolti i calcoli, il sistema diventa

    \begin{cases}z=\dfrac{3+x}{2}\\ \\ y=\dfrac{1+5x}{2}\end{cases}

    per cui, eleggendo x a parametro libero (cioè ponendo x=t), ricaviamo:

    \begin{cases}x=t\\ \\ z=\dfrac{3+t}{2}\\ \\ y=\dfrac{1+5t}{2}\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Ordiniamo le relazioni e riportiamo quella che è a tutti gli effetti una rappresentazione parametrica della retta

    r:\ \begin{cases}x=t\\ \\ y=\dfrac{1+5t}{2}\\ \\ z=\dfrac{3+t}{2}\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    che possiamo riscrivere in maniera equivalente come

    r:\ \begin{cases}x=t\\ \\ y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5t}{2}\\ \\ z=\dfrac{3}{2}+\dfrac{t}{2}\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Abbiamo fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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