Soluzioni
  • Quando sei di fronte ad un integrale, bisogna prima di tutto classificarlo cercando di comprendere se è un integrale improprio di prima, seconda specie o misto.

    Il dominio di integrazione dell'integrale

    I=\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2-1}dx

    è (-1,1), ossia è un intervallo limitato, in cui l'integranda

    f(x)=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}

    è una funzione continua nell'intervallo (-1,1).

    Attenzione però: non è una funzione limitata inferiormente, infatti

    \\ \lim_{x\to -1^{+}}\frac{1}{x^2-1}=-\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to 1^{-}}\frac{1}{x^2-1}=-\infty

    dunque presenta due punti singolari di seconda specie (o punti di discontinuità di seconda specie) x=-1\mbox{ e }x=1.

    Tutte queste informazioni permettono di concludere che quello fornito dalla traccia è un integrale improprio di seconda specie.

    Studiamo il comportamento dell'integrale fissando un punto x_0\in (-1,1) e scriviamo l'integrale di partenza come

    I=\int_{-1}^{x_0}\frac{1}{x^2-1}dx+\int_{x_0}^{1}\frac{1}{x^2-1}dx

    così facendo, abbiamo espresso l'integrale improprio di partenza come somma di integrali impropri le cui integrande hanno un solo punto singolare. Se entrambi gli integrali impropri convergono allora convergerà anche I.

    Studiamo l'andamento del primo integrale utilizzando il criterio del confronto asintotico: in un intorno destro di -1 sussiste la seguente equivalenza asintotica

    \frac{1}{(x+1)(x-1)}\sim_{x\to -1}-\frac{1}{2(x+1)}

    e quindi l'integranda è asintotica ad una funzione il cui integrale è divergente. Più precisamente:

    \int_{-1}^{x_0}\frac{-1}{2(x+1)}dx=\frac{1}{2}\int_{-1}^{x_0}\frac{1}{x+1}dx

    è un integrale improprio notevole divergente.

    Questo sarebbe sufficiente per concludere che l'integrale I diverge. Per questioni di completezza, però, riportiamo lo studio della convergenza del secondo integrale

    \int_{x_0}^{1}\frac{1}{(x-1)(x+1)}dx

    ragionando in modo del tutto analogo al primo. In un intorno sinistro di 1 sussiste la seguente relazione

    \frac{1}{(x-1)(x+1)}\sim_{x\to 1^{-}}\frac{1}{2(x-1)}

    ossia per x\to 1^{-} l'integranda è asintotica ad una funzione che ha integrale divergente sull'intervallo [x_0, 1).

    L'esercizio ora è completo.

    Risposta di Ifrit
 
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