Soluzioni
  • Ok, iniziamo:

    Sia

    C:=\{\Gamma: \Gamma \mbox{ è una circonferenza}\}

    l'insieme delle circonferenze del piano.

     

    Siano inoltre:

    \Gamma_1, \Gamma_2\in C

    due circonferenze.

     

    La relazione che andremo a provare è la seguente:

    \Gamma_1\mathcal{R}\Gamma_2\iff \mbox{Centro}(\Gamma_1)= \mbox{Centro}(\Gamma_2)

    Cosa ci dice questa cosa? Ci sta dicendo che due circonferenze sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso centro, quindi se e solo se sono concentriche. Per dimostrare che \mathcal{R} è una relazione di equivalenza dobbiamo verificare gli assiomi che definiscono, appunto, le relazioni di equivalenza:


     

    Definizione:

    Una relazione \mathcal{R} in un insieme C è detta relazione di equivalenza se e soltanto se è:

    • Riflessiva, cioé  per ogni elemento \Gamma dell'insiemeC risulta:

    \Gamma\mathcal{R}\Gamma

    • Simmetrica: se qualunque siano gli elementi \Gamma_1, \Gamma_2\in C

    Se \Gamma_1\mathcal{R}\Gamma_2 allora \Gamma_2\mathcal{R}\Gamma_1

    • Transitiva: se qualunque siano gli elementi \Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3\in C

    da: \Gamma_1\mathcal{R}\Gamma_2 e \Gamma_2\mathcal{R}\Gamma_3 allora segue che: 

    \Gamma_1\mathcal{R}\Gamma_3

     


    Ci rimane da dimostrare che la relazione

    \Gamma_1\mathcal{R}\Gamma_2\iff \mbox{Centro}(\Gamma_1)= \mbox{Centro}(\Gamma_2)

    è effettivamente di equivalenza:

    • Riflessivita:

    Sia \Gamma una circonferenza di centro \mbox{Centro}(\Gamma) allora necessariamente vale la proprietà proprietà riflessiva:

    \Gamma \mathcal{R}\Gamma\iff \mbox{Centro}(\Gamma)= \mbox{Centro}(\Gamma)

    ma questo è banale perché il centro della circonferenza \Gamma coincide con se stesso.

    In altre parole ogni circonferenza è concentrica con se stessa :)

    • Simmetria: 

    Siano \Gamma_1 una circonferenza di centro \mbox{Centro}(\Gamma_1), \Gamma_2 una circonferenza di centro \mbox{Centro}(\Gamma_2).

    Se  \Gamma_1\mathcal{R}\Gamma_2 allora per definizione di relazione, si ha che:

    \mbox{Centro}(\Gamma_1)= \mbox{Centro}(\Gamma_2), poiché il simbolo di uguaglianza è simmetrico, allora si ha che:

    \mbox{Centro}(\Gamma_2)= \mbox{Centro}(\Gamma_1)

    e dunque:

    \Gamma_2\mathcal{R}\Gamma_1

    A Parole questo vuol dire che: se una circonferenza è concentrica con un altra, allora la seconda circonferenza è concentrica con la prima.

    • Transitività:

    Siano \Gamma_1 una circonferenza di centro \mbox{Centro}(\Gamma_1), \Gamma_2 una circonferenza di centro \mbox{Centro}(\Gamma_2), \Gamma_3 una circonferenza di centro \mbox{Centro}(\Gamma_3)

    Se \Gamma_1\mathcal{R}\Gamma_2 allora per definizione di relazione, \mbox{Centro}(\Gamma_1)=\mbox{Centro}(\Gamma_2)

    Se inoltre \Gamma_2\mathcal{R}\Gamma_3 allora per definizione di relazione, \mbox{Centro}(\Gamma_2)=\mbox{Centro}(\Gamma_3)

    Ciò implica che:

    \Gamma_1\mathcal{R}\Gamma_3 questo perché

    \mbox{Centro}(\Gamma_1)=\mbox{Centro}(\Gamma_2)

    \mbox{Centro}(\Gamma_2)=\mbox{Centro}(\Gamma_3) implicano:

    \mbox{Centro}(\Gamma_1)=\mbox{Centro}(\Gamma_3)

     

    In parole povere, abbiamo fatto vedere che se abbiamo 3 circonferenze, se la prima è concentrica con la seconda e la seconda è concentrica con la terza allora necessariamente la prima e concentrica con la terza.

     

    Abbiamo appena dimostrato che la relazione \mathcal{R} definita su C è una relazione di equivalenza. 

    Le relazioni di equavalenza hanno la caratteristica di dividere (partizionare) l'insieme C in classi di equivalenza.

    Ad esempio la classe di equivalenza di una circonferenza:

    \mbox{classe}(\Gamma):= \{\Gamma_1: \Gamma_1 \mbox{ è concentrica con }\Gamma\}

     

    In italiano: La classe di equivalenza di una circonferenza \Gamma è l'insieme delle circonferenze concentriche con \Gamma

     

    L'insieme quoziente C/\mathcal{R}= \{\mbox{Classe}[\Gamma]: \Gamma\in C\}

    L'insieme quoziente è formato da tutte le classi di equivalenza. 

     

    Non pensavo che si facessero queste cose alle superiori :D

    Risposta di Ifrit
 
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