Disequazione irrazionale ed esponenziale

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Ciao, la mia domanda riguarda una disequazione irrazionale e esponenziale trascritta male da me! (Prima avevate intuito bene voi...)

 

((1)/(2))^(√((x^2-4x+3)/(-x-(1)/(3)))) ≥ (1)/(8)

 

L'esercizio chiede qual'è l'insieme delle soluzioni della disequazione. Grazie!

Domanda di mery

 
Soluzioni

  • Naturalmente, mi dica tutto...:)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Si tratta di una disequazione mista: inizialmente è una disequazione esponenziale

    ((1)/(2))^(√((x^2-4x+3)/(-x-(1)/(3)))) ≥ (1)/(8)

    scriviamo il secondo membro in base 1/2 e troviamo

    ((1)/(2))^(√((x^2-4x+3)/(-x-(1)/(3)))) ≥ ((1)/(2))^(3)

    Ora applichiamo il logaritmo in base 1/2 ad entrambi i membri, e dato che la base è minore di 1 dobbiamo invertire il simbolo di disequazione. Otteniamo così una disequazione irrazionale

    √((x^2-4x+3)/(-x-(1)/(3))) ≤ 3

    Dobbiamo imporre la condizione di esistenza della radice:

    (x^2-4x+3)/(-x-(1)/(3)) ≥ 0

    che è una semplicissima disequazione fratta e che ha soluzioni

    x∈(-∞,-(1)/(3)) U [1,3]

    e poi elevando al quadrato entrambi i membri passiamo a risolvere la disequazione

    (x^2-4x+3)/(-x-(1)/(3)) ≤ 9

    che ha soluzioni 

    x∈ [-3,-2] U (-(1)/(3),+∞)

    Mettendo a sistema le soluzioni delle due disequazioni troviamo le soluzioni della disequazione esponenziale:

    x∈[-3,-2] U [1,3]

    Se dovessi avere de i dubbi con i conti, non esitare a chiedere!

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • okWink

     

    Risposta di mery
 
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