Come faccio a capire se una funzione è suriettiva o iniettiva?

Per capire se una funzione è suriettiva o no e se è iniettiva o no possiamo fare riferimento, in entrambi i casi, a due metodi diversi che spieghiamo nel dettaglio con svariati esempi nelle lezioni:

- come riconoscere una funzione iniettiva;

- come riconoscere una funzione suriettiva.

Dato che nelle lezioni menzionate spieghiamo tutto (ma proprio tutto!), mi limito ad anticiparti le idee che stanno alla base dei vari metodi a disposizione.

Consideriamo una funzione con dominio

Per studiare l'iniettività possiamo ricorrere:

1) ad un metodo algebrico che si basa direttamente sulla definizione.

Una funzione è iniettiva per definizione se per ogni risulta che se e solo se .

Attenzione a non fraintendere la definizione. Il metodo algebrico che ne consegue prevede di imporre l'uguaglianza

e di trovare le possibili relazioni tra che la verificano.

Se l'unica condizione è

allora la funzione è iniettiva. Se invece esistono altre possibilità oltre a questa, allora la funzione non è iniettiva.

2) Il secondo metodo è il metodo grafico.

Si tratta di disegnare il grafico di effettuando uno studio di funzione o, nei casi più semplici, ricorrendo alle regole del grafico intuitivo a partire dai grafici noti delle funzioni elementari.

Una volta ottenuto il grafico, si considerano tutte le possibili rette orizzontali del tipo .

Se esiste anche solo una retta orizzontale che interseca il grafico in più di un punto, allora la funzione non è iniettiva.

Se tutte le rette orizzontali intersecano il grafico in al più un punto, allora la funzione è iniettiva (al più qui significa in un punto o in nessuno).

Per studiare la suriettività il discorso è più semplice ma anche più delicato.

Il presupposto prevede, a meno che non sia diversamente indicato, di considerare come codominio (ossia come insieme di arrivo) .

1) Il metodo algebrico prevede di ricorrere alla definizione operativa: dobbiamo stabilire se per ogni esiste almeno un nel dominio tale per cui risulti

Nella pratica considereremo una generica ed imporremo l'equazione

se tale equazione ammetterà almeno una soluzione per ogni , allora la funzione è suriettiva.

In caso contrario la funzione non è suriettiva.

2) Il metodo grafico prevede di disporre del grafico della funzione. 

A questo punto basta considerare la proiezione ortogonale del grafico sull'asse delle ordinate.

Se la proiezione copre tutto l'asse delle ordinate, allora la funzione è suriettiva.

In caso contrario la funzione non è suriettiva.

Ribadisco il mio invito iniziale: per gli esempi ti rimando alla lettura delle lezioni dedicate. ;)