Soluzioni
  • Per capire se una funzione è suriettiva o no e se è iniettiva o no possiamo fare riferimento, in entrambi i casi, a due metodi diversi che spieghiamo nel dettaglio con svariati esempi nelle lezioni:

    - come riconoscere una funzione iniettiva;

    - come riconoscere una funzione suriettiva.

    Dato che nelle lezioni menzionate spieghiamo tutto (ma proprio tutto!), mi limito ad anticiparti le idee che stanno alla base dei vari metodi a disposizione.

    Consideriamo una funzione y=f(x) con dominio Dom(f)\subseteq\mathbb{R}

    Per studiare l'iniettività possiamo ricorrere:

    1) ad un metodo algebrico che si basa direttamente sulla definizione.

    Una funzione è iniettiva per definizione se per ogni x_1,x_2\in Dom(f) risulta che f(x_1)=f(x_2) se e solo se x_1=x_2.

    Attenzione a non fraintendere la definizione. Il metodo algebrico che ne consegue prevede di imporre l'uguaglianza

    f(x_1)=f(x_2)

    e di trovare le possibili relazioni tra x_1=x_2 che la verificano.

    Se l'unica condizione è

    x_1=x_2

    allora la funzione è iniettiva. Se invece esistono altre possibilità oltre a questa, allora la funzione non è iniettiva.

    2) Il secondo metodo è il metodo grafico.

    Si tratta di disegnare il grafico di y=f(x) effettuando uno studio di funzione o, nei casi più semplici, ricorrendo alle regole del grafico intuitivo a partire dai grafici noti delle funzioni elementari.

    Una volta ottenuto il grafico, si considerano tutte le possibili rette orizzontali del tipo y=k.

    Se esiste anche solo una retta orizzontale che interseca il grafico in più di un punto, allora la funzione non è iniettiva.

    Se tutte le rette orizzontali intersecano il grafico in al più un punto, allora la funzione è iniettiva (al più qui significa in un punto o in nessuno).

    Per studiare la suriettività il discorso è più semplice ma anche più delicato.

    Il presupposto prevede, a meno che non sia diversamente indicato, di considerare come codominio (ossia come insieme di arrivo) \mathbb{R}.

    1) Il metodo algebrico prevede di ricorrere alla definizione operativa: dobbiamo stabilire se per ogni y\in\mathbb{R} esiste almeno un x nel dominio tale per cui risulti

    f(x)=y

    Nella pratica considereremo una generica y ed imporremo l'equazione

    f(x)=y

    se tale equazione ammetterà almeno una soluzione x per ogni y\in\mathbb{R}, allora la funzione è suriettiva.

    In caso contrario la funzione non è suriettiva.

    2) Il metodo grafico prevede di disporre del grafico della funzione

    A questo punto basta considerare la proiezione ortogonale del grafico sull'asse delle ordinate.

    Se la proiezione copre tutto l'asse delle ordinate, allora la funzione è suriettiva.

    In caso contrario la funzione non è suriettiva.

    Ribadisco il mio invito iniziale: per gli esempi ti rimando alla lettura delle lezioni dedicate. ;)

    Risposta di Ifrit
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