Soluzioni
  • Ciao Lolloviola, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • perfetto grazie

    Risposta di lolloviola
  • L'esercizio non è breve: incomincio con lo scrivere il procedimento, poi mi butto sui calcoli, ma almeno nel frattempo non resti a bocca asciutta Wink

    1) Trasformare l'equazione delle due rette dalla forma cartesiana alla forma parametrica.

    2) Determinare i coefficienti direttori del piano imponendo la condizione di ortogonalità con entrambe le rette, separatamente.

    3) Imporre la condizione di passaggio per il punto considerato.

    4) Risolvere il sistema sui coefficienti direttori del piano.

    Ora: arriva lo svolgimento completo Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok a teoria ci siamo...partiamo con i calcoli!...

    Risposta di lolloviola
  • Troviamo la forma parametrica della retta data dall'intersezione dei due piani:

    2x-y+z=5

    5x+y+2z=4

    Sostituiamo la seconda equazione con la somma delle due equazioni, troviamo

    7x+3z=9

    Poniamo z=t e ricaviamo

    x=\frac{9}{7}-\frac{3}{7}t

    Sostituiamo entrambe le espressioni nella prima equazione del sistema e concludiamo che le equazioni parametriche della retta sono date da

    x=\frac{9}{7}-\frac{3}{7}t

    y=-\frac{17}{7}+\frac{1}{7}t

    z=t

    Parametri direttori: (-\frac{3}{7},\frac{1}{7},1)

    Passiamo alla seconda retta:

    3x-y+4z=8

    6x-y-z=2

    Sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra la seconda e la prima

    3x-5z=-6

    Anche qui poniamo z=t

    x=\frac{5}{3}t-2

    e sostituiamo tutto nella prima equazione del sistema: troviamo

    y=9t-14

    Quindi le equazioni parametriche della seconda retta sono date da

    x=\frac{5}{3}t-2

    y=9t-14

    z=t

    Parametri direttori: (\frac{5}{3},9,1)

    A questo punto, scriviamo l'equazione del piano in forma generica ed imponiamo il passaggio per il punto (4,-1,3)

    ax+by+cz+d=0

    Quindi

    4a-b+3c+d=0

    Fin qui tutto ok?

    Risposta di Omega
  • come faccio a trasformare il primo sistema delle due rette dalla forma cartesiana a quella parametrica?

    Risposta di lolloviola
  • Semplicemente imponendo che una variabile - ho scelto z - sia pari al parametro t. Poi lavori sulle equazioni dei due piani che individuano la retta mediante intersezione ed elimini la variabile y, sostituendo una delle due equazioni con una combinazione lineare delle due: nel primo caso, è estremamente comodo sostituire la seconda equazione con la somma delle due equazioni del sistema (l'algebra lineare ci dice che effettuando una sostituzione del genere abbiamo un sistema equivalente).

    Poi it ricavi l'espressione della secondaa variabile in termini di t e risostituisci le espressioni delle due variabili così determinate nella prima equazione.

    Risposta di Omega
  • non mi tornava la trasformazione che ti dicevo, poi per il resto tutto ok!

    Risposta di lolloviola
  • ci sono....okok....poi dall'ultimo passaggio come proseguo?

    Risposta di lolloviola
  • Ok, ora con tutti questi ingredienti possiamo passare direttamente a scrivere l'equazione del piano in forma parametrica:

    [x,y,z]=[4,-1,3]+u(-\frac{3}{7},\frac{1}{7},1)+v(\frac{5}{3},9,1)

    (non serve passare attraverso la condizione di perpendicolarità, o meglio si allunga inutilmente il procedimenti)

    Ora tutto si riduce a passare dalla forma parametrica del piano a quella cartesiana: sai farlo o lo vediamo insieme?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • vediamolo insieme che è meglio!ihih

    Risposta di lolloviola
  • Scriviamo per prima cosa le equazioni parametriche esplicitamente:

    x=4-\frac{3}{7}u+\frac{5}{3}v

    y=-1+\frac{1}{7}u+9v

    z=3+u+v

    Bisogna ricavare uno dei due parametri u o v da una delle tre equazioni,  ad esempio v dalla terza: dipenderà quindi da z e da u. Poi si sostituisce in una delle altre due equazioni, ad esempio nella seconda, e si ricava poi u in termini di y e z. Poi si sostituisce tutto nella prima equazione (la restante) e si trova in questo modo l'equazione cartesiana della retta.

    È solo una questione di calcoli, niente di più. Ad ogni modo, vista la richiesta dell'esercizio, l'esercizio poteva ritenersi concluso già con le equazioni parametriche Wink

    Se volessi ugualmente provare e avessi difficoltà con i conti, sono a disposizione

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • okok....un ultima cosa come potrei passare a scrivere le rette dalla forma, non sò per esempio 

     

    5x-15y-2z=4 

    2x-y+z= 1

    alla forma dove sono scritte cosi:

    per esempio

    x-3/2 = -y+5/4 = z+1/5 ??? grazie di nuovo

    Risposta di lolloviola
  • Per farlo, puoi passare alla forma parametrica della retta, nel modo che abbiamo visto sopra. Le equazioni parametriche sono della forma

    P=P_0+tv

    dove P_0=(x_0,y_0,z_0) e un punto appartenente alla retta e v=(a,b,c) è la direzione della retta. Puoi allora giungere alla forma richiesta utilizzando la formula

    \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • e se avessi per esempio questo sistema di rette come faccio a passare all'altra forma?

     

    2x-y+z = 1

    x-y+3z = 4

    Po=(3,1,2)

    ????

    Risposta di lolloviola
  • Nuova domanda Wink con titolo "Rette nello spazio: equazioni cartesiane, parametriche, passaggio per un punto".

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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