Soluzioni
  • \mathbb{R}_2[x] denota l'insieme dei polinomi di grado al più due nell'incognita x:

    \mathbb{R}_2[x]=\{a+bx+cx^2 \ | \ a,b,c \in \mathbb{R}\}

    Per stabilire se tale insieme è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto alle operazioni di somma tra polinomi e di prodotto di un polinomio per uno scalare dobbiamo dimostrare che valgano le proprietà che definiscono uno spazio vettoriale.

    Le abbiamo riportate tutte qui di seguito verificando, di volta in volta, la validità per \mathbb{R}_{2}[x].

    Da qui in poi supponiamo che

    \\ p_1(x)=a_1+b_1x+c_1x^2 \ \ \ ; \ \ \ p_2(x)=a_2+b_2x+c_2x^2 \\ \\ p_3(x)=a_3+b_3x+c_3x^2

    siano tre qualsiasi elementi di \mathbb{R}_2[x] e che \lambda, \beta siano due scalari.

    1) Associatività della somma

    \\ \left[p_1(x)+p_2(x)\right]+p_3(x) = \\ \\ = (a_1+b_1x+c_1x^2+a_2+b_2x+c_2x^2) + a_3+b_3x+c_3x^2=

    svolgiamo la somma polinomiale tra la coppia di parentesi tonde

    =a_1+a_2 +(b_1+b_2)x + (c_1+c_2) x^2 + a_3+b_3x+c_3x^2 =

    calcoliamo la somma tra il polinomio risultante e p_3(x)

    =(a_1+a_2)+a_3 + [(b_1+b_2)+b_3]x + [c_1+(c_2+c_3)]x^2=

    La somma tra numeri reali gode della proprietà associativa

    \\ =a_1+(a_2+a_3) + [b_1+(b_2+b_3)]x + [c_1+(c_2+c_3)]x^2= \\ \\ = a_1+b_1x+c_1x^2 + [(a_2+a_3)+(b_2+b_3)x+(c_2+c_3)x^2] = \\ \\ = p_1(x)+[p_2(x)+p_3(x)]

    L'associatività della somma è dimostrata e possiamo procedere oltre.

    2) Esistenza dell'elemento neutro rispetto alla somma

    Il polinomio nullo

    z(x)=0

    è l'elemento neutro rispetto alla somma, infatti per ogni p(x) \in \mathbb{R}_2[x]:

    p(x)+0=0+p(x)=0.

    3) Esistenza dell'inverso rispetto alla somma

    Per ogni p(x)=a+bx+cx^2 \in \mathbb{R}_2[x] il suo inverso rispetto a + è

    -p(x)=-a-bx-cx^2

    infatti

    p(x)+[-p(x)]=a+bx+cx^2+(-a-bx-cx^2) = 0

    e

    -p(x)+p(x)=-a-bx-cx^2+a+bx+cx^2 = 0

    4) Commutatività della somma

    \\ p_1(x)+p_2(x)=a_1+b_1x+c_1x^2 + a_2+b_2x+c_2x^2 = \\ \\ = a_1+a_2 + (b_1+b_2)x + (c_1+c_2)x^2=

    per la proprietà commutativa della somma tra numeri reali

    \\ = a_2+a_1+ (b_2+b_1) x + (c_2+c_1)x^2 = \\ \\ = (a_2+b_2x+c_2x^2) + (a_1+b_1x+c_1x^2) = \\ \\ = p_2(x)+p_1(x)

    Abbiamo così dimostrato che p_1(x)+p_2(x)=p_2(x)+p_1(x), dunque la somma è commutativa.

    5) Omogeneità del prodotto tra scalare e polinomio, cioè

    \lambda[\beta p_1(x)] = (\lambda \beta)p_1(x)

    Verifichiamola!

    \\ \lambda[\beta p_1(x)] = \lambda[\beta (a_1+b_1x+c_1x^2)] = \\ \\ = \lambda (\beta a_1x+\beta b_1x + \beta c_1x^2) = \\ \\ = \lambda \beta a_1x + \lambda \beta b_1 x + \lambda \beta c_1 x^2 =

    Raccogliamo a fattor comune \lambda \beta

    =\lambda \beta (a_1+b_1x+c_1x^2) = \lambda \beta p_1(x)

    Passiamo oltre.

    6) Esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto

    Evidentemente l'elemento neutro del prodotto è lo scalare \lambda=1, tant'è vero che per ogni p(x) \in \mathbb{R}_2[x]:

    1 \ p(x) = p(x).

    7) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra polinomi, ossia

    \lambda [p_1(x)+p_2(x)] = \lambda p_1(x) + \lambda p_2(x)

    Partiamo dal primo membro e sostituiamo i due polinomi

    \lambda [p_1(x)+p_2(x)] = \lambda (a_1+b_1x+c_1x^2 + a_2+b_2x+c_2x^2) =

    calcoliamo la somma

    =\lambda[a_1+a_2 + (b_1+b_2)x + (c_1+c_2)x^2] =

    Svolgiamo il prodotto

    =\lambda(a_1+a_2) + \lambda(b_1+b_2)x + \lambda(c_1+c_2)x^2=

    Il prodotto tra numeri reali gode della proprietà distributiva rispetto alla somma

    =\lambda a_1 + \lambda a_2 + \lambda b_1 x + \lambda b_2 x + \lambda c_1 x^2 + \lambda c_2 x^2 =

    riordiniamo opportunamente

    \\ =\lambda a_1 + \lambda b_1x + \lambda c_1 x^2 + \lambda a_2 + \lambda b_2 x + \lambda c_2 x^2 = \\ \\ = \lambda(a_1 + b_1x+c_1x^2) + \lambda (a_2 + b_2 x + c_2 x^2) = \\ \\ = \lambda p_1(x)+\lambda p_2(x)

    Anche questa proprietà è verificata.

    8) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra scalari, secondo cui

    (\lambda+\beta)p_1(x)=\lambda p_1(x)+\beta p_1(x)

    Procediamo!

    \\ (\lambda+\beta)p_1(x)=(\lambda+\beta)(a_1+b_1x+c_1x^2) = \\ \\ = (\lambda+\beta)a_1 + (\lambda+\beta)b_1x + (\lambda+\beta)c_1 x^2=

    Per la distributività del prodotto tra scalari rispetto alla somma

    \lambda a_1 + \beta a_1 + \lambda b_1 x + \beta b_1 x + \lambda c_1 x^2 + \beta c_1 x^2 =

    riordiniamo e raccogliamo a fattor comune sia \lambda che \beta

    \\ \lambda (a_1 + b_1x+c_1x^2) + \beta (a_1+b_1x+c_1x^2)= \\ \\ = \lambda p_1(x) + \beta p_1(x)

    Anche l'ultima proprietà è dimostrata, e quindi \mathbb{R}_2[x] è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto alle operazioni di somma tra polinomi e di prodotto di un polinomio per uno scalare.

    Abbiamo finito, ma facciamo notare che questa dimostrazione può essere presa come guida per dimostrare che, rispetto alle stesse operazioni, \mathbb{R}_n[x] è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} qualsiasi sia n \in \mathbb{N}.

    Risposta di Galois
 
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