Dire se R_2[x] è uno spazio vettoriale su R

Question

Ho appena concluso lo studio degli spazi vettoriali e, come mi capita spesso, sono parecchio in difficoltà nel passaggio dalla teoria agli esercizi. Uno dei primi quesiti proposti chiede di dire se l'insieme dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più due è uno spazio vettoriale su R, ma non riesco proprio a venirne a capo. Dire se l'insieme R_(2)[x] dotato delle operazioni di somma tra polinomi e di prodotto di un polinomio per uno scalare è uno spazio vettoriale su R.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

R_2[x] denota l'insieme dei polinomi di grado al più due nell'incognita x: R_2[x] = a+bx+cx^2 | a,b,c ∈ R Per stabilire se tale insieme è uno spazio vettoriale su R rispetto alle operazioni di somma tra polinomi e di prodotto di un polinomio per uno scalare dobbiamo dimostrare che valgano le proprietà che definiscono uno spazio vettoriale. Le abbiamo riportate tutte qui di seguito verificando, di volta in volta, la validità per R_(2)[x]. Da qui in poi supponiamo che ; p_1(x) = a_1+b_1x+c_1x^2 ; p_2(x) = a_2+b_2x+c_2x^2 ; p_3(x) = a_3+b_3x+c_3x^2 siano tre qualsiasi elementi di R_2[x] e che λ, β siano due scalari. 1) Associatività della somma ; [p_1(x)+p_2(x)]+p_3(x) = (a_1+b_1x+c_1x^2+a_2+b_2x+c_2x^2)+a_3+b_3x+c_3x^2 = svolgiamo la somma polinomiale tra la coppia di parentesi tonde = a_1+a_2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2) x^2+a_3+b_3x+c_3x^2 = calcoliamo la somma tra il polinomio risultante e p_3(x) = (a_1+a_2)+a_3+[(b_1+b_2)+b_3]x+[c_1+(c_2+c_3)]x^2 = La somma tra numeri reali gode della proprietà associativa ; = a_1+(a_2+a_3)+[b_1+(b_2+b_3)]x+[c_1+(c_2+c_3)]x^2 = a_1+b_1x+c_1x^2+[(a_2+a_3)+(b_2+b_3)x+(c_2+c_3)x^2] = p_1(x)+[p_2(x)+p_3(x)] L'associatività della somma è dimostrata e possiamo procedere oltre. 2) Esistenza dell'elemento neutro rispetto alla somma Il polinomio nullo z(x) = 0 è l'elemento neutro rispetto alla somma, infatti per ogni p(x) ∈ R_2[x]: p(x)+0 = 0+p(x) = 0. 3) Esistenza dell'inverso rispetto alla somma Per ogni p(x) = a+bx+cx^2 ∈ R_2[x] il suo inverso rispetto a+è-p(x) = -a-bx-cx^2 infatti p(x)+[-p(x)] = a+bx+cx^2+(-a-bx-cx^2) = 0 e-p(x)+p(x) = -a-bx-cx^2+a+bx+cx^2 = 0 4) Commutatività della somma ; p_1(x)+p_2(x) = a_1+b_1x+c_1x^2+a_2+b_2x+c_2x^2 = a_1+a_2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)x^2 = per la proprietà commutativa della somma tra numeri reali ; = a_2+a_1+(b_2+b_1) x+(c_2+c_1)x^2 = (a_2+b_2x+c_2x^2)+(a_1+b_1x+c_1x^2) = p_2(x)+p_1(x) Abbiamo così dimostrato che p_1(x)+p_2(x) = p_2(x)+p_1(x), dunque la somma è commutativa. 5) Omogeneità del prodotto tra scalare e polinomio, cioè λ[β p_1(x)] = (λ β)p_1(x) Verifichiamola! ; λ[β p_1(x)] = λ[β (a_1+b_1x+c_1x^2)] = λ (β a_1x+β b_1x+β c_1x^2) = λ β a_1x+λ β b_1 x+λ β c_1 x^2 = Raccogliamo a fattor comune λ β = λ β (a_1+b_1x+c_1x^2) = λ β p_1(x) Passiamo oltre. 6) Esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto Evidentemente l'elemento neutro del prodotto è lo scalare λ = 1, tant'è vero che per ogni p(x) ∈ R_2[x]: 1 p(x) = p(x). 7) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra polinomi, ossia λ [p_1(x)+p_2(x)] = λ p_1(x)+λ p_2(x) Partiamo dal primo membro e sostituiamo i due polinomi λ [p_1(x)+p_2(x)] = λ (a_1+b_1x+c_1x^2+a_2+b_2x+c_2x^2) = calcoliamo la somma = λ[a_1+a_2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)x^2] = Svolgiamo il prodotto = λ(a_1+a_2)+λ(b_1+b_2)x+λ(c_1+c_2)x^2 = Il prodotto tra numeri reali gode della proprietà distributiva rispetto alla somma = λ a_1+λ a_2+λ b_1 x+λ b_2 x+λ c_1 x^2+λ c_2 x^2 = riordiniamo opportunamente ; = λ a_1+λ b_1x+λ c_1 x^2+λ a_2+λ b_2 x+λ c_2 x^2 = λ(a_1+b_1x+c_1x^2)+λ (a_2+b_2 x+c_2 x^2) = λ p_1(x)+λ p_2(x) Anche questa proprietà è verificata. 8) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra scalari, secondo cui (λ+β)p_1(x) = λ p_1(x)+β p_1(x) Procediamo! ; (λ+β)p_1(x) = (λ+β)(a_1+b_1x+c_1x^2) = (λ+β)a_1+(λ+β)b_1x+(λ+β)c_1 x^2 = Per la distributività del prodotto tra scalari rispetto alla somma λ a_1+β a_1+λ b_1 x+β b_1 x+λ c_1 x^2+β c_1 x^2 = riordiniamo e raccogliamo a fattor comune sia λ che β ; λ (a_1+b_1x+c_1x^2)+β (a_1+b_1x+c_1x^2) = λ p_1(x)+β p_1(x) Anche l'ultima proprietà è dimostrata, e quindi R_2[x] è uno spazio vettoriale su R rispetto alle operazioni di somma tra polinomi e di prodotto di un polinomio per uno scalare. Abbiamo finito, ma facciamo notare che questa dimostrazione può essere presa come guida per dimostrare che, rispetto alle stesse operazioni, R_n[x] è uno spazio vettoriale su R qualsiasi sia n ∈ N.