Soluzioni
  • Ciao Blackjack, allora ad occhio mi sembra che quell'integrale non venga zero, perché la funzione non ha simmetrie sulla figura dove stai integrando.

     

    Io ragionerei in questo modo: la circonferenza di centro (2,0) e raggio 1 è esprimibile come

     

    (x-2)2+y2=1

     

    Tutto sta nell'esprimere bene gli estremi di integrazione: x varierà tra 1 e 3, perché la circonferenza è centrata in ascissa 2 e ha raggio 1. Per integrare sulla circonferenza dobbiamo stare attenti alla y, ma dall'equazione della circonferenza otteniamo

     

    y2=1-(x-2)2

     

    Estraendo la radice quadrata avremo

     

    y=±(1-(x-2)2)(1/2)

     

    d'altra parte, per come è fatto il semicerchio su cui integriamo, (sta nel primo quadrante), abbiamo che le y sono tutte positive, quindi possiamo scartare la radice quadrata con segno meno:

     

    y=(1-(x-2)2)(1/2)

     

    Abbiamo ottenuto così i nostri insiemi di integrazione sulla y: 0 e (1-(x-2)2)(1/2)

     

    Non resta che svolgere l'integrale usando Fubini Tonelli (segno gli estremi di integrazione nella parentesi dopo int):

     

    int(1,3) int(0,(1-(x-2)2)(1/2)) {xy}dxdy=

     

    qui applico il teorema FT:

     

    =int(1,3) x {int(0,(1-(x-2)2)(1/2)) ydy}dx=

     

    =int(1,3) x · y2/2 (valutato sugli estremi di integrazione per y)dx=

     

    =int(1,3) (x/2)((1-(x-2)2)1/2)2dx=

     

    facendo la potenza di potenza (1/2)·2=1 ci liberiamo della radice ottenendo

     

    =int(1,3) (x/2)(1-(x-2)2)dx=

     

    ora non resta che risolvere questo integrale, ad esempio sfruttando la linearità dell'integrale possiamo moltiplicare l'integranda e spezzarlo in due parti:

     

    =int(1,3){ (x/2)dx} -int(1,3) {(1/2) x(x-2)2 dx}

     

    Svolgiamoli separatamente e poi sommiamoli

     

    il primo addendo dà

     

    int(1,3){ (x/2)dx}=(1/2)int(1,3){ xdx}=(1/2)·[9/2-1/2]=2

     

    nel secondo portiamo fuori la costante e dopo aver svolto la moltiplicazione sfruttiamo la linearità dell'integrale:

     

     

    (1/2) int(1,3) { x(x-2)2 dx}=

     

    =(1/2) int(1,3) { x(x2-2x+4) dx}=

     

    =(1/2) int(1,3) { x3-2x2+4x dx}=

     

    =(1/2) int(1,3) { x3dx} - int(1,3) { 2x2 dx} + int(1,3)  {4x dx}=

     

    valutando ogni addendo ottieni

     

    2/3

     

    Non rimane che sottrarre i valori dei due addendi per trovare il valore dell'integrale doppio:

     

    int(1,3) int(0,(1-(x-2)2)(1/2)) {xy}dxdy=2-2/3=4/3

     

    Quindi il tuo integrale non è nullo, ma ciò non significa che non si possano avere integrali doppi nulli! Ad esempio è sufficiente cambiare gli estremi di integrazione del tuo integrale per avere come risultato 0:

     

    sul quadrato si ha

     

    int(-1,1) int(-1,1) {xy dxdy}=0

     

    I conti sono abbastanza rapidi, ma se vuoi scrivici pure e li facciamo insieme!

     

    Alpha.

     

     

    Risposta di Alpha
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