Integrale doppio sul semicerchio

Ciao Blackjack, allora ad occhio mi sembra che quell'integrale non venga zero, perché la funzione non ha simmetrie sulla figura dove stai integrando.

Io ragionerei in questo modo: la circonferenza di centro (2,0) e raggio 1 è esprimibile come

(x-2)²+y²=1

Tutto sta nell'esprimere bene gli estremi di integrazione: x varierà tra 1 e 3, perché la circonferenza è centrata in ascissa 2 e ha raggio 1. Per integrare sulla circonferenza dobbiamo stare attenti alla y, ma dall'equazione della circonferenza otteniamo

y²=1-(x-2)²

Estraendo la radice quadrata avremo

y=±(1-(x-2)²)^(1/2)

d'altra parte, per come è fatto il semicerchio su cui integriamo, (sta nel primo quadrante), abbiamo che le y sono tutte positive, quindi possiamo scartare la radice quadrata con segno meno:

y=(1-(x-2)²)^(1/2)

Abbiamo ottenuto così i nostri insiemi di integrazione sulla y: 0 e (1-(x-2)²)^(1/2)

Non resta che svolgere l'integrale usando Fubini Tonelli (segno gli estremi di integrazione nella parentesi dopo int):

int(1,3) int(0,(1-(x-2)²)^(1/2)) {xy}dxdy=

qui applico il teorema FT:

=int(1,3) x {int(0,(1-(x-2)²)^(1/2)) ydy}dx=

=int(1,3) x · y²/2 ^{(valutato sugli estremi di integrazione per y)}dx=

=int(1,3) (x/2)((1-(x-2)²)^1/2)²dx=

facendo la potenza di potenza (1/2)·2=1 ci liberiamo della radice ottenendo

=int(1,3) (x/2)(1-(x-2)²)dx=

ora non resta che risolvere questo integrale, ad esempio sfruttando la linearità dell'integrale possiamo moltiplicare l'integranda e spezzarlo in due parti:

=int(1,3){ (x/2)dx} -int(1,3) {(1/2) x(x-2)² dx}

Svolgiamoli separatamente e poi sommiamoli

il primo addendo dà

int(1,3){ (x/2)dx}=(1/2)int(1,3){ xdx}=(1/2)·[9/2-1/2]=2

nel secondo portiamo fuori la costante e dopo aver svolto la moltiplicazione sfruttiamo la linearità dell'integrale:

(1/2) int(1,3) { x(x-2)² dx}=

=(1/2) int(1,3) { x(x²-2x+4) dx}=

=(1/2) int(1,3) { x³-2x²+4x dx}=

=(1/2) int(1,3) { x³dx} - int(1,3) { 2x² dx} + int(1,3)  {4x dx}=

valutando ogni addendo ottieni

2/3

Non rimane che sottrarre i valori dei due addendi per trovare il valore dell'integrale doppio:

int(1,3) int(0,(1-(x-2)²)^(1/2)) {xy}dxdy=2-2/3=4/3

Quindi il tuo integrale non è nullo, ma ciò non significa che non si possano avere integrali doppi nulli! Ad esempio è sufficiente cambiare gli estremi di integrazione del tuo integrale per avere come risultato 0:

sul quadrato si ha

int(-1,1) int(-1,1) {xy dxdy}=0

I conti sono abbastanza rapidi, ma se vuoi scrivici pure e li facciamo insieme!

Alpha.