Soluzioni
  • Ciao Marcolino, cominciamo con i dati

    \begin{cases}AB: BH= 3:2\\ P_{BHC}=2a(5+\sqrt{5})\end{cases}

    Per il teorema di Euclide si ha che:

    BC:CH=AB:BH

    Ma per ipotesi sappiamo che:

    AB:BH= 3:2 pertanto:

    BC:CH= 3:2

    Da questa informazione e dai dati traiamo le informazioni che ci serviranno:

    AB= \frac{3}{2} BH

    BC= \frac{3}{2} CH

    Per il teorema di pitagora applicato al triangolo rettangolo ABC abbiamo inoltre:

    AC= \sqrt{AB^2+BC^2}= \sqrt{\frac{9}{4}BH^2+\frac{9}{4}CH^2}= \frac{3}{2}\sqrt{BH^2+CH^2}

    Osserva ora che:

    \sqrt{BH^2+CH^2} è in realtà l'ipotenusa del triangolo rettangolo BHC quindi possiamo concludere che:

    \sqrt{BH^2+CH^2}= BC

    dunque:

    AC= \sqrt{AB^2+BC^2}= \sqrt{\frac{9}{4}BH^2+\frac{9}{4}CH^2}= \frac{3}{2}\sqrt{BH^2+CH^2}= \frac{3}{2} BC

    Ma BC= \frac{3}{2} CH

    pertanto:

    AC=\frac{3}{2} BC= \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2} CH\right)= \frac{9}{4} CH

    Per questioni geometriche inoltre sappiamo che l'ipotenusa è la somma delle proiezioni dei cateti su di essa

    AH+CH= AC

    Inoltre abbiamo visto che AC= \frac{9}{4}CH quindi:

    AH+CH= \frac{9}{4} CH

    quindi:

    AH= \frac{9}{4} CH- CH= \left(\frac{9}{4}-1\right)CH= \frac{5}{4} CH

    Per il teorema di euclide abbiamo inoltre che:

    AH:BH=BH: CH\implie BH^2= AH\times CH

    Quindi:

    BH= \sqrt{AH\times CH}= \sqrt{\frac{5}{4} CH^2}= \frac{\sqrt{5}}{2} CH

    Bene! Abbiamo tutti gli elementi del triangolo BHC in funzione di CH:

    P_{BHC}= BH+CH+CB= \left(\frac{\sqrt{5}}{2} +1+\frac{3}{2}\right)CH

    \left(\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)CH.

    Noi conosciamo il perimetro, quindi possiamo calcolare il valore di CH:

    \left(\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)CH= 2a(5+\sqrt{5})

    \left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)CH= 2a(5+\sqrt{5})

    Moltiplicando ambo i membri per due:

    2\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)CH= 4a(5+\sqrt{5})

    Semplificando al primo membro il 2 

    (5+\sqrt{5})CH= 4a(5+\sqrt{5})

    Dividendo ambo i membri per 5+\sqrt{5} abbiamo:

    CH= 4a

    Pertando:

    AH= \frac{5}{4}CH= \frac{5}{4} \times 4 a = 5a

    AC= AH+CH= 5a+4a= 9a

    BH=\frac{\sqrt{5}}{2} CH= \frac{\sqrt{5}}{2}\times 4a = 2\sqrt{5}a

    Possiamo calcolare l'area del triangolo ABC:

    A_{ABC}= \frac{AC\times BH}{2} = \frac{9a\times 2\sqrt{5}a}{2}= 9 \sqrt{5}a^2

    Il perimetro del triangolo ABC è dato dalla somma dei lati, e noi fortunatamente li conosciamo:

    AB= \frac{3}{2} BH= \frac{3}{2}\times 2\sqrt{5}a= 3\sqrt{5}a

    BC=\frac{3}{2} CH= \frac{3}{2} \times 4a= 6a

    Quindi:

    P_{ABC}= AB+BC+CA= 3\sqrt{5}a+6a+9a = 15a+3\sqrt{5}a = 3a(5+\sqrt{5})

    Risposta di Ifrit
 
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