Soluzioni
  • Ciao Neumann, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Naturalmente: questo perché il prodotto scalare, mediante cui viene definito l'angolo tra due vettori numerici, dipende dalla base considerata in generale. Vettori che sono ortogonali in un sistema di riferimento possono benissimo non esserlo, come giustamente osservi, passando ad un nuovo sistema di riferimento.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Allora per esempio, se lavoro con uno spazio come R^2, posso sempre avere un rappresentante geometrico per la coppia di numeri che compongono il mio vettore. Se ho dunque il caso che prima ho descritto, dopo il cambio di base (magari scelgo una base di 2 vettori che formano 30° tra di loro) avrò che si annulla il prodotto scalare di tutti i vettori che formano 30° tra di loro. Si annulla anche il prodotto scalare di quelli che formano un angolo di 150°?

    Risposta di Neumann
  • Indipendentemente dal sistema di riferimento che consideri, la condizione di ortogonalità equivale all'annullamento del prodotto scalare tra i due vettori. Questo perché l'angolo \theta tra due vettori u,v è definito come

    \cos{(\theta)}=\frac{(u,v)}{||u||\cdot||v||}

    dove (u,v) è il prodotto scalare tra i vettori u,v. Il prodotto scalare si annulla quindi se e solo se i vettori sono ortogonali. In un sistema di coordinate per \mathbb{R}^2 quale ad esempio

    (1,1),(0,1)

    i vettori della base canonica si scrivono in componenti proprio come

    (1,1),(0,1)

    ed il loro prodotto scalare non è più nullo, mentre è nullo il prodotto scalare tra i vettori che nel precedente sistema - quello canonico - non erano ortogonali e si scrivevano come (3,3),(0,4) e che nel nuovo sistema di riferimento si scriveranno come (3,0),(0,4) ed in cui sono ortogonali.

    Anche se consideri un vettore come (-3,-3) nel vecchio sistema di riferimento, che evidentemente forma un angolo di 45^{o}+90^{o}^{o}=135^{o} con il "vecchio" vettore (0,4), troverai che nel nuovo riferimento il vettore (-3,-3) si scrive come (-3,0) ed è dunque ancora ortogonale al vettore (0,4) nel nuovo sistema di riferimento (ma non nel vecchio)!

    L'esempio rende l'idea?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Dunque mi pare di capire che anche vettori che formano tra di loro un angolo supplementare rispetto a quello che formano i due della base saranno ortogonali?

    Risposta di Neumann
  • Tutto dipende dalla trasformazione e dal cambiamento di base che consideri. Come abbiamo già osservato, i cambiamenti di base trasformano gli angoli oltre alle lunghezze dei vettori (salvo casi particolare come ad esempio le rotazioni). Devi controllare che i due vettori del riferimento di partenza vengano mandati in due vettori, mediante il cambiamento di base, che nel nuovo riferimento di partenza siano supplementari. Va da sè, naturalmente, che se tali vettori vengono mandati nel nuovo riferimento in due vettori supplementari, otterrai ancora l'ortogonalità del secondo vettore relativamente ad un terzo vettore ((0,4) nell'esempio considerato in precedenza). Ma come deve essere fatto nel riferimento originario il vettore che diventa supplementare al primo nel nuovo riferimento, e quindi nel nuovo riferimento è naturalmente ancora ortogonale al terzo vettore, dipende dal cambiamento di coordinate considerato.

    Nel caso della tua domanda, dunque, la risposta è sì: nel nuovo riferimento con vettori della base con angolo di 30° vettori che nel primo riferimento formano angoli di 30° vengono mandati nel nuovo riferimento in vettori ortogonali; prendendo un vettore che nel primo riferimento è parallelo ed opposto ad uno dei due vettori, e quindi forma un angolo di 180°-30°=150° con l'altro vettore, sarà ancora ortogonale a tale vettore nel nuovo riferimento considerato.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille!

    Risposta di Neumann
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