Soluzioni
  • Ciao Danielenonlasà, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Cercherò di essere il più esaustivo possibile evitando nel contampo di centrare il nocciolo della questione senza cadere in dettagli troppo "tecnici".

    Immaginiamo che ci venga assegnata una curva/superficie in forma di luogo di zeri (forma implicita), cioè, prendendo ad esempio una superficie in \mathbb{R}^3

    f(x,y)=0

    la curva/superficie siffatta ci fa schifo, ha un'espressione analitica troppo complicata. Vogliamo parametrizzarla per cercare di semplificarne lo studio. Ok, ma quale parametrizzazione possiamo scegliere, tenendo sempre a mente il sacro obbiettivo "semplificare il problema"?

    La parametrizzazione che rende massimo il rango della matrice delle derivate parziali.

    Mettiamoci nel caso di una superficie: ad ogni punto della superficie possiamo associare un piano tangente, se esso esiste (devono valere determinate condizioni di continuità e derivabilità della curva). Il piano tangente è individuato da tutti i vettori tangenti alla superficie, cioè dalle derivate direzionali della funzione che descrive la superficie come luogo di zeri.

    Se il rango della matrice delle derivate parziali, che sono le derivate della funzione lungo le direzioni canoniche, è massimo, ciò significa che i vettori che esse individuano nel piano tangente sono linearmente indipendenti e ne costituiscono una base (perché sono in numero pari alla dimensione del piano tangente). In tal caso, la parametrizzazione è andata a buon fine e si dice che la parametrizzazione scelta è regolare. Abbiamo fatto una buona scelta!

    Se invece il rango non è massimo, i vettori individuati dalle derivate parziali non saranno linearmente indipendenti e non costituiranno una base del piano tangente. Non abbiamo affatto semplificato il problema, in questo caso.

    Spero di aver trasmesso l'idea. Ad ogni modo dietro questi concetti ci sono un bel po' di nozioni, e formulare un discorso organico e rigoroso e tutta un'altra faccenda.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie sei stato  veramente chiarissimo! Un' ultima cosa: come posso collegare questo al teorema delle funzioni implicite? ( dato che ogni volta l professore lo cita quando parla di questo argomento)

     

    Risposta di Danielenonlasà
  • Ciao Danielenonlasà. Domanda molto interessante: ho il permesso di "incattivire" un po' il discorso da un punto di vista del rigore, oppure manteniamo un low-profile?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • incattiviscitiLaughing (ma non esageratamente)

    Risposta di Danielenonlasà
  • Come promesso, eccoci: vediamo di analizzare il legame che intercorre tra la scelta di una parametrizzazione per una superficie descritta in forma implicita g(x,y)=0 mediante una funzione g:A\subseteq\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} e il teorema del Dini.

    Del teorema del Dini, tra le altre cose, se ne parlava pochi giorni or sono:

    https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/1838-teorema-di-dini-help-me.html

    Vediamo di farla breve senza troppi fronzoli: l'esistenza del piano tangente alla superficie nel punto è garantita dalla differenziabilità della funzione stessa nel punto (non basta che esistano le derivate parziali).

    Se almeno una delle due derivate parziali non si annulla nel punto considerato, possiamo (sotto le opportune ipotesi di regolarità richieste sia per l'esistenza del piano tangente sia per l'applicabilità del teorema delle funzioni implicite) ricorrere al teorema del Dini (l'ipotesi di annullamento della funzione nel punto la facciamo saltare fuori facilmente con una traslazione). In particolare, il teorema del Dini ci permette di calcolare l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto considerato.

    Ma, ripeto: è richiesta una dose non indifferente di nozioni, in particolare di Analisi e di Geometria Differenziale, per poter affrontare il discorso in modo rigoroso. Messo così è "da bar", ma può essere utile per rendere l'idea.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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