Soluzioni
  • Per far sì che un'iperbole sia un'iperbole equilatera riscriviamo l'equazione dell'iperbole data in forma canonica

    \frac{x^2}{\frac{k-4}{2}}-\frac{y^2}{\frac{k+1}{3}}=1

    Ossia nella forma

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

    dove

    \bullet\,\,a^2= \frac{k-4}{2}

    \bullet\,\, b^2=\frac{k-1}{3}

     

    Affinché sia un'iperbole equilatera riferita agli asintoti dobbiamo richiedere che:

    \bullet\,\, \frac{k-4}{2}>0

    \bullet\,\, \frac{k-1}{3}>0

    e infine che

     a^2=b^2\iff \frac{k-4}{2}=\frac{k-1}{3}

    La disequazione di primo grado

    \frac{k-4}{2}>0

    ammette come soluzioni k>4

    La seconda disequazione invece ha per soluzione k>1

    Intersecando le soluzioni otterrai k>4

    Non ci rimane che risolvere l'equazione tenendo conto del vincolo su k.

    \frac{k-4}{2}=\frac{k+1}{3}

    Determiniamo il minimo comune multiplo tra 2 e 3 che è 6:

    \frac{3k-12}{6}=\frac{2k+2}{6}

    Il denominatore non serve più. Otterremo un'equazione di primo grado in cui l'incognita è k.

    3k-12=2k+2

    Portiamo i termini con l'incognita al primo membro, tutto il resto al secondo:

    3k-2k=12+2

    k=14

    La soluzione trovata soddisfa il vincolo, ed è dunque accettabile. L'iperbole di partenza è equilatera se e solo se k=14 e la sua equazione è:

    \frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{5}=1\iff x^2-y^2= 5.

    Risposta di Ifrit
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