Scegliere un parametro per avere un'iperbole equilatera

Salve, un esercizio mi dà l'equazione di un'iperbole con un parametro e mi chiede di trovare il valore del parametro per il quale essa rappresenta un'iperbole equilatera. Non so come risolvere il problema, per questo mi rivolgo a voi...

Data l'equazione (2x^2)/(k-4)-(3y^2)/(k+1) = 1, determina il valore di k in modo tale da ottenere un'iperbole equilatera.

Grazie mille!

Domanda di gggg12
Soluzione

Per far sì che un'iperbole sia un'iperbole equilatera riscriviamo l'equazione dell'iperbole data in forma canonica

(x^2)/((k-4)/(2))-(y^2)/((k+1)/(3)) = 1

Ossia nella forma

(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2) = 1

dove

• , ,a^2 = (k-4)/(2)

• , , b^2 = (k-1)/(3)

Affinché sia un'iperbole equilatera riferita agli asintoti dobbiamo richiedere che:

• , , (k-4)/(2) > 0

• , , (k-1)/(3) > 0

e infine che

a^2 = b^2 ⇔ (k-4)/(2) = (k-1)/(3)

La disequazione di primo grado

(k-4)/(2) > 0

ammette come soluzioni k > 4

La seconda disequazione invece ha per soluzione k > 1

Intersecando le soluzioni otterrai k > 4. 

Non ci rimane che risolvere l'equazione tenendo conto del vincolo su k.

(k-4)/(2) = (k+1)/(3)

Determiniamo il minimo comune multiplo tra 2 e 3 che è 6:

(3k-12)/(6) = (2k+2)/(6)

Il denominatore non serve più. Otterremo un'equazione di primo grado in cui l'incognita è k.

3k-12 = 2k+2

Portiamo i termini con l'incognita al primo membro, tutto il resto al secondo:

3k-2k = 12+2

k = 14

La soluzione trovata soddisfa il vincolo, ed è dunque accettabile. L'iperbole di partenza è equilatera se e solo se k = 14 e la sua equazione è:

(x^2)/(5)-(y^2)/(5) = 1 ⇔ x^2-y^2 = 5.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
Ultima modifica:

Domande della categoria Scuole Superiori - Geometria
Esercizi simili e domande correlate