Soluzioni
  • Ciao Xeltonx, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • grazie :)

    Risposta di xeltonx
  • Prendiamo una funzione di due variabili:

    f(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}

    la derivata direzionale si definisce come la derivata calcolata lungo una specifica direzione del piano, e cioè: consideriamo un vettore del piano e=[e_1,e_2], che quindi individua una specifica direzione nel piano stesso. Definiamo la derivata direzionale come

    D_{e}f(x,y)=\lim_{h\to 0}{\frac{f([x,y]+h[e_1,e_2])-f(x,y)}{h}}

    o, in forma più compatta

    D_{e}f(x,y)=\lim_{h\to 0}{\frac{f(\underline{x}+h\underline{e})}{h}}

    Questa definizione immagino che la conoscerai a memoria. Ora cerco di rendere l'idea geometrica e analitica che sta alla base della definizione di derivata direzionale, e conseguentemente del perché viene definita così. Intanto...

    - ti ritrovi con la definizione?

    - dai un'occhiata alla lezione sulle derivate direzionali, ti toglierà molti dubbi! ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • non ho capito perchè si mette l'h a moltiplicare c1, c2. non bastava lasciare c1,c2?

    ...

    Risposta di xeltonx
  • aaaa deriva dall'equazione parametrica della retta individuata dal versore che consideriamo e lungo la quale ci spostiamo...sisi ci sono...

    Risposta di xeltonx
  • Il punto è proprio questo: per capirne il motivo vediamo di andare con ordine.

    Una funzione di due variabili ha un comportamento che varia a seconda della direzione che si considera. Ciò è dovuto proprio al fatto che la dipendenza del valore della funzione si manifesta attraverso due variabili, e non solo una come succede nel caso delle funzioni reali di una variabile reale. Dunque, è naturale che la faccenda si complichi un pochettino...

    La complicazione scaturisce dal fatto che nel valutare il comportamento della funzione non basta più limitarsi a considerare i valori che essa realizza mediante una valutazione, ma bisogna tenere in considerazione la direzione lungo la quale ci si muov. Questa direzione la dobbiamo considerare sul piano.

    In particolare, se guardiamo i valori ottenuti mediante la funzione

    f((x,y))

    f((x,y)+h[e_1,e_2])

    abbiamo nel primo caso il valore assunto nel punto (x,y) nel secondo caso il valore assunto dalla funzione in un punto della retta del piano (x,y)+h[e_1,e_2], che passa per il punto (x,y) e ha direzione [e_1,e_2]. Il punto specifico che si considera su tale retta viene individuato dal valore del coefficiente h che si considera.

    Dunque, calcolare il limite per h\to 0 della diffenza

    f((x,y)+h[e_1,e_2])-f((x,y))

    vuol dire considerare il comportamento che la funzione assume lungo la specifica retta (x,y)+h[e_1,e_2] quando il punto (x,y)+h[e_1,e_2] si avvicina al punto (x,y). E si guarda come cambia la differenza delle ordinate al tendere del primo punto al secondo.

    Così è più chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • chiarissimo! Laughing

    Risposta di xeltonx
  • però alla fine sembra essere molto simile il concetto di derivata direzionale al concetto di derivata parziale, visto che le derivate parziali indicano la pendenza della funzione rispetto alla variabile x o y...

    o no omega?

    Risposta di xeltonx
  • Chiaramente! Laughing La derivata parziale (ad esempio rispetto a x) è una caso particolare di derivata direzionale, in particolare è la derivata direzionale lungo la direzione

    [e_1,e_2]=[1,0]

    parallela alla direzione dell'asse delle ascisse nel piano cartesiano.

    Allo stesso modo, la derivata parziale rispetto a y è la derivata direzionale della funzione lungo la direzione

    [e_1,e_2]=[0,1]

    parallela alla direzione dell'asse delle ordinate.

    In questi due casi specifici, è tutto molto bello perché le rispettive direzioni fanno sì di preoccuparsi solamente della variazione dei valori assunti dalla funzione al variare di una delle due variabili (a seconda dei casi). Con una direzione arbitraria, il discorso si complica un pochetto da lpunto di vista dei calcoli, ma neanche più di tanto.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • perfetto grazie mille omega ;)

    Risposta di xeltonx
  • Figurati, è un piacere! Wink

    [PS: se risolto, clicca su "problema risolto", ti ringrazio!]

    Namasté!

    Risposta di Omega
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