Soluzioni
  • Ciao Alessandro, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Vediamo anzitutto la definizione di rotore di un campo vettoriale. Immaginiamo di avere un campo vettoriale in tre dimensioni F:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3

    F=(F_{x},F_y,F_z)

    il rotore del campo F è un campo vettoriale le cui componenti sono definite da

    rot(F)=\left[\begin{matrix}\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\\ \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\end{matrix}\right]

    Il rotore è quindi un campo vettoriale costruito con le derivate parziali delle componenti del campo vettoriale dato. Sembra complicatissimo, ma per calcolarlo si tratta solamente di calcolare le derivate parziali delle componenti del vettore di partenza.

    Ora: l'annullamento del rotore (i campi di forze che hanno rotore nullo si dicono irrotazionali) è condizione necessaria ma non sufficiente affinchè la forza descritta dal campo vettoriale V sia conservativa. Corretto, correttissimo: il perché consiste in una dimostrazione nella quale si fa vedere che:

    - se il rotore è nullo, non è detto che la forza assegnata ammette potenziale;

    - se la forza ammette un potenziale, il rotore deve essere nullo.

    Se hai già visto la dimostrazione di questo risultato, il motivo risiede tutto lì; l'hai vista a lezione?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • no non l'ho vista a lezione perche ho saltato l'intera lezione; potresti spiegarmela? :) 

    grazie mille 

    cmq fin qui è tutto chiaro

    Risposta di Alessandro
  • Ok, let's do this! Ho provato a guardare sul tuo profilo ma non vedo facoltà né anno di corso, e sono informazioni che mi servirebbero prima di procedere, perché almeno posso immaginarmi le nozioni che hai già incontrato e quali ancora no...Ad esempio: immagino che tu abbia già dimestichezza con gli altri operatori vettoriali come il gradiente, corretto?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ho aggiornato ilprofilo; cmq si, sono al secondo anno di ingegneria industriale

    Risposta di Alessandro
  • Grazie! Wink

    Un campo vettoriale F si dice conservativo se ammette un potenziale, cioè se esiste una funzione U:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} tale che

    \frac{\partial U}{\partial x}=F_x

    \frac{\partial U}{\partial y}=F_y

    \frac{\partial U}{\partial z}=F_z

    che possiamo riscrivere in forma compatta attraverso l'operatore gradiente

    \nabla U=F

    dove il gradiente è l'operatore che associa ad una funzione il vettore delle derivate parziali, ad esempio in \mathbb{R}^3

    \nabla\bullet=\left[\frac{\partial\bullet}{\partial x},\frac{\partial\bullet}{\partial y},\frac{\partial\bullet}{\partial z}\right]

    prendiamo le prime due equazioni scritte sopra, e deriviamo la prima rispetto a y e la seconda rispetto a x, trovando

    \frac{\partial U}{\partial x\partial y}=\frac{\partial F_x}{\partial y}

    \frac{\partial U}{\partial y\partial x}=\frac{\partial F_y}{\partial x}

    ora il teorema di Schwarz ci dice che le derivate parziali seconde non dipendono dall'ordine di derivazione, a patto che il campo vettoriale considerato sia di classe C^1 (derivabile con continuità) sul proprio dominio, condizione che il nostro caro potenziale U soddisfa, quindi

    \frac{\partial U}{\partial x\partial y}=\frac{\partial U}{\partial y\partial x}

    per cui ricaviamo

    \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x}

    ossia

    \frac{\partial F_x}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial x}=0

    questa equazione ci dice proprio che la prima componente del rotore è zero:

    (rot(F))_x=0

    Procedendo in modo analogo con le altre due possibili coppie di equazioni inizialmente introdotte troviamo che anche le altre due componenti del rotore devono essere nulle

    (rot(F))_y=0

    (rot(F))_z=0

    e quindi il rotore è nullo, ed il campo è irrotazionale.

    Fine della dimostrazione. Non è invece detto che un campo irrotazionale sia conservativo.

    Se dovessi avere dei dubbi, non esitare a chiedere.

    Namasté!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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