Soluzioni
  • Per studiare il segno della funzione

    f(x) = xln(|x+2|)

    bisogna innanzitutto determinarne il dominio. Poiché il logaritmo è ben definito se il proprio argomento è positivo, dobbiamo imporre la condizione

    C.E. : |x+2| > 0

    Risolviamo la disequazione con il valore assoluto osservando che |x+2| è positiva tranne quando x+2 è uguale a zero.

    |x+2| > 0 → x+2 ne 0 → x ne-2

    Deduciamo che il dominio della funzione è

     Dom(f) = R--2 = (-∞,-2) U (-2,+∞)

    Il prossimo passaggio prevede di impostare la disequazione

    f(x) ≥ 0 → xln(|x+2|) ≥ 0

    il cui insieme soluzione è costituito dai punti in cui la funzione è positiva o nulla. Per risolverla basta studiare il segno dei fattori che compongono il prodotto al primo membro

    • x ≥ 0 è immediato;

    • ln(|x+2|) ≥ 0 è una disequazione logaritmica che richiede qualche passaggio algebrico in più.

    Per prima cosa applichiamo l'esponenziale membro a membro: così facendo potremo semplificare il logaritmo

    e^(ln(|x+2|)) ≥ e^(0) → |x+2| ≥ 1

    La disequazione con valore assoluto si presenta nella forma

    |A(x)| ≥ a con a > 0

    la quale è equivalente alle seguenti

    A(x) ≤ -a ∨ A(x) ≥ a

    Alla luce di ciò, l'insieme delle soluzioni di

    |x+2| ≥ 1

    coincide con l'insieme soluzione delle seguenti relazioni

    x+2 ≤ -1 ∨ x+2 ≥ 1

    ossia

    x ≤ -3 ∨ x ≥ -1

    Deduciamo che ln(|x+2|) è:

    - positivo se x < -3 oppure se x > -1

    - nullo se x = -3 oppure se x = -1 

    Ora che conosciamo i segni dei due fattori, creiamo la tabella dei segni

    beginarrayc|llllllllll -3 -2 -1 0 ; hline ; x - - - - - - - 0 +; ; ln(|x+2|) + 0 - !∃ - 0 + + +; ; hline ; xln(|x+2|) - 0 + !∃ + 0 - 0 + endarray

    Da essa ricaviamo che la funzione f(x) è:

    - positiva se

    -3 < x < -2 ∨ -2 < x < -1 ∨ x > 0;

    - uguale a zero se x = -3, x = -1, x = 0;

    - negativa se

    x < -3 ∨ -1 < x < 0

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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