Soluzioni
  • Per studiare il segno della funzione

    f(x)=x\ln\left(|x+2|\right)

    bisogna innanzitutto determinarne il dominio. Poiché il logaritmo è ben definito se il proprio argomento è positivo, dobbiamo imporre la condizione

    C.E. \ :\ |x+2|>0

    Risolviamo la disequazione con il valore assoluto osservando che |x+2| è positiva tranne quando x+2 è uguale a zero.

    |x+2|>0 \ \ \ \to \ \ \ x+2\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -2

    Deduciamo che il dominio della funzione è

    \\ \mbox{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{-2\}=\\ \\ =(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)

    Il prossimo passaggio prevede di impostare la disequazione

    f(x)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ln(|x+2|)\ge 0

    il cui insieme soluzione è costituito dai punti in cui la funzione è positiva o nulla. Per risolverla basta studiare il segno dei fattori che compongono il prodotto al primo membro

    \bullet \ \ \ x\ge 0 è immediato;

    \bullet \ \ \ \ln(|x+2|)\ge 0 è una disequazione logaritmica che richiede qualche passaggio algebrico in più.

    Per prima cosa applichiamo l'esponenziale membro a membro: così facendo potremo semplificare il logaritmo

    e^{\ln(|x+2|)}\ge e^{0} \ \ \to \ \ |x+2|\ge 1

    La disequazione con valore assoluto si presenta nella forma

    |A(x)|\ge a \ \ \ \mbox{con} \ a>0

    la quale è equivalente alle seguenti

    A(x)\le -a \ \ \ \vee \ \ \ A(x)\ge a

    Alla luce di ciò, l'insieme delle soluzioni di

    |x+2|\ge 1

    coincide con l'insieme soluzione delle seguenti relazioni

    x+2\le -1 \ \ \ \vee \ \ \ x+2\ge 1

    ossia

    x\le -3 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge -1

    Deduciamo che \ln(|x+2|) è:

    - positivo se x<-3 oppure se x>-1

    - nullo se x=-3 oppure se x=-1 

    Ora che conosciamo i segni dei due fattori, creiamo la tabella dei segni

    \begin{array}{c|llllllllll}&&-3&&-2&&-1&&0&\\ \hline&&&&&&&&&& \\ x&-&-&-&-&-&-&-&0&+\\ &&&&&&&&&&\\ \ln(|x+2|)&+&0&-&\nexists&-&0&+&+&+\\ &&&&&&&&&&\\ \hline &&&&&&&&&&\\ x\ln(|x+2|)&-&0&+&\nexists&+&0&-&0&+\end{array}

    Da essa ricaviamo che la funzione f(x) è:

    - positiva se

    -3<x<-2 \ \vee \ -2<x<-1 \ \vee \ x>0;

    - uguale a zero se x=-3, x=-1, x=0;

    - negativa se

    x<-3 \ \vee \ -1<x<0

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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