Espressione risolvibile con formule di duplicazione

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Ciao a tutti, come da titolo avrei bisogno di una mano con l'applicazione delle formule di duplicazione in un'espressione goniometrica...

 

(cos(2α))/(cos(α)-sin(α))·(sin(α)+cos(α))-sin(2α).

 

Il risultato è 1. Prometto che non darò fastidio oggi più... :p

Domanda di Jumpy

 
Soluzioni

  • Ahahahah ma che fastidio :P, certo questo argomento è difficile, ma spero che leggendo le nostre risposte tu riesca a capire che la matematica non è così brutta come credi :)

    Il tempo di pensarci e arrivo :)

     

    Risposta di Ifrit

  • Questo genere di espressioni richiede una buona conoscenza delle formule trigonometriche, quindi attenzione... ;)

    \frac{\cos(2\alpha)}{\cos(\alpha)-\sin(\alpha)}\cdot (\sin(\alpha)+\cos(\alpha))-\sin(2\alpha)

    Dalle formule di duplicazione abbiamo che:

    cos(2α) = cos^2(α)-sin^2(α)

    Sostituendo nella espressione abbiamo:

    (cos^2(α)-sin^2(α))/(cos(α)-sin(α))(sin(α)+cos(α))-sin(2α)

    Osserva ora che:

    cos^2(α)-sin^2(α) è una differenza di quadrati quindi:

    cos^2(α)-sin^2(α) = (cos(α)+sin(α))(cos(α)+sin(α))

    Sostituendo troviamo che:

    ((cos(α)-sin(α))(cos(α)+sin(α)))/(cos(α)-sin(α))(sin(α)+cos(α))-sin(2α)

    Semplifichiamo la differenza:

    (cos(α)+sin(α))(sin(α)+cos(α))-sin(2α) =

    Moltiplichiamo, osservando che è un quadrato di "Binomio trigonometrico"

    cos^2(α)+sin^2(α)+2sin(α)cos(α)-sin(2α)

    Ricordiamo sempre la relazione fondamentale:

    cos^2(α)+sin^2(α) = 1

    Inoltre per le formule di duplicazione del seno:

    sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

    Sostituendo:

    1+2sin(α)cos(α)-2sin(α)cos(α) = 1

    Risposta di Ifrit
 
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