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  • Ciao Leleinho, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per calcolare il valore del limite, conviene sfruttare l'uguaglianza seguente

    a^b=e^{\log{(a^b)}}=e^{b\log{(a)}}

    che si basa sulla definizione di logaritmo (I passaggio) e su una nota proprietà del logaritmo stesso (II passaggio).

    Ciò premesso, riscriviamo il limite

    \lim_{x\to +\infty}{\left[\frac{x^2+1}{x^2-1}\right]^x}

    (parentesi: se il limite fosse

    \lim_{x\to +\infty}{\left[\frac{x^2+1}{x^2}-1\right]^x}

    in tal caso ti basterebbe spezzare il numeratore e procedere in modo simile, cioè con il medesimo accorgimento algebrico, con il quale inizia questa risposta)

    ...dicevamo... nella forma

    \lim_{x\to +\infty}{e^{x\log{\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)}

    e, sommando e sottraendo 1 al numeratore dell'argomento del logaritmo, possiamo riscrivere il tutto come

    \lim_{x\to +\infty}{e^{x\log{\left(\frac{x^2-1+1+1}{x^2-1}\right)}

    \lim_{x\to +\infty}{e^{x\log{\left(1+\frac{+2}{x^2-1}\right)}

    grazie al limite notevole del logaritmo, possiamo sostituire asintoticamente

    \lim_{x\to +\infty}{e^{x\frac{+2}{x^2-1}\right)}

    e quindi troviamo che l'esponente, con un rapido confronto tra infiniti, tende a 0, dunque il limite vale 1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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