Identità goniometrica con tangente e cotangente

Please potete aiutarmi a verificare un'identità goniometrica in cui sono coinvolte la tangente e la cotangente?

E' questa qui: 2 cotg(2α) + tg(α) = cotg(α)

Vi ringrazio sin da subito per l'aiuto che mi darete.

In Superiori - Algebra - Domanda di Jumpy

Soluzioni

Ti aiutiamo ti aiutiamo :D, fammici pensare un po' ti rispondo ;)

Risposta di Ifrit
grazie

Risposta di Jumpy
Cominciamo:

$2\cot (2\alpha)+\tan(\alpha)= \cot(\alpha)$

Iniziamo dalla definizione di cotangente, questa è il reciproco della tangente:

$\cot(2\alpha)= \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$

Per le formule di duplicazione:

$\cos(2\alpha)= \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)$

Inoltre per le formule di duplicazione del seno:

$\sin(2\alpha)=2\cos(\alpha)\sin(\alpha)$

Da ciò segue che:

$\cot(2\alpha)= \frac{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}{2\cos(\alpha)\sin(\alpha)}$

Spezziamo la frazione:

$\frac{\cos^2(\alpha)}{2\cos(\alpha)\sin(\alpha)}-\frac{\sin^2(\alpha)}{2\cos(\alpha)\sin(\alpha)}$

Semplifichiamo il semplificabile:

$\frac{\cos(\alpha)}{2\sin(\alpha)}-\frac{\sin(\alpha)}{2\cos(\alpha)}$

Otteniamo:

$\cot(2\alpha)=\frac{1}{2}(\cot(\alpha)-\tan(\alpha))$

Di conseguenza:

$2\cot(2\alpha)+\tan(\alpha)= 2\,\, \frac{1}{2}(\cot(\alpha)-\tan(\alpha))+\tan(\alpha)=$

$\cot(\alpha)-\tan(\alpha)+\tan(\alpha)= \cot(\alpha)$

Se ci sono punti non chiari fai un fischio :)

Risposta di Ifrit

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