Soluzioni
  • Ciao Erica :)

    Scriviamo il punto C di cui dobbiamo determinare le coordinate cartesiane in forma generica, ossia C(x,y).

    Poiché il punto C sarà il vertice di un triangolo isoscele, per prima cosa dobbiamo richiedere che le lunghezze dei lati AC \mbox{ e } BC coincidano: Applicando la formula per il calcolo della distanza tra due punti: abbiamo

    \underbrace{\sqrt{(x_C-x_A)^2-(y_C-y_A)^2}}}_{AB}=\underbrace{\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}}_{BC}

    cioè

    \sqrt{(x+4)^2-(y-3)^2}}=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}

    Elevando al quadrato, calcolando i vari quadrati di binomio e svolgendo i calcoli troviamo che le coordinate del punto devono verificare l'equazione

    12x-8y+20=0

    cioè il punto C deve appartenere alla retta di equazione

    3x-2y+5=0

    Sappiamo anche quanto deve valere l'area del triangolo: per calcolarla ci serve anzitutto la lunghezza della base

    AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{(-4-2)^2+(3+1)^2}=\sqrt{52}

    Poi calcoliamo la lunghezza dell'altezza CH relativa alla base AB: ci serve l'equazione della retta passante per i due punti A \mbox{ e } B che calcoliamo con la solita formula

    \frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}

    e troviamo che ha equazione

    4x+6y-2=0

    Non resta che calcolare la distanza punto-retta di C \mbox{ da } AB che è data da

    CH=\frac{|4x+9y-2|}{\sqrt{52}}

    Ora imponiamo l'uguaglianza grazie alla formula per l'area del triangolo isoscele

    \mbox{Area}=\frac{AB\cdot CH}{2}=\frac{65}{2}

    cioè

    |4x+6y-2|=65

    Ora, sappiamo che le coordinate del punto C devono verificare l'equazione

    3x-2y+5=0

    Scriviamo tale equazione della retta in forma esplicita, cioè

    y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}

    e sostituiamo nella relazione precedente

    \left|4x+6\left(\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\right)-2\right|=65

    da cui, svolgendo i conti

    \left|13x+13\right|=65

    Ricadiamo così in un'equazione con valore assoluto, la quale ha come soluzioni

    x=-6 \ \vee \ x=4

    Poiché il punto deve appartenere al primo quadrante l'unica soluzione accettabile è

    x=4, ossia il punto C ha ascissa x_C=4.

    Sostituendo tale valore in

    y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}

    abbiamo che

    y_C=16

    Abbiamo finito :)

    Risposta di Galois
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