Soluzioni
  • Ciao Ely, il grafico della funzione y=e^(x/(2-x)) è

     

    Grafico di una funzione esponenziale nello studio di funzione

     

    Ma prima di procedere con lo studio, vorrei essere sicuro che il denominatore dell'esponente sia (2-x) e non solo 2. Replica e dimmi qual'è, così procediamo.

     

     

    Risposta di Omega
  • sisi il denominatore è (2-x).

    Risposta di ely
  • Benone! Seguiamo le indicazioni per lo studio di funzione.

    Dominio: Tutto R tranne il punto x=2, basta richiedere che il denominatore dell'esponente sia diverso da zero.

    Segno: è positiva su tutto il dominio perchè l'esponenziale è sempre positiva!

    Intersezioni con l'asse delle x: dato che è sempre positiva, non ci sono.

    Intersezioni con l'asse delle y:

    calcola f(0)=e^(0)=1. Quindi il grafico passa per il punto (0,1).

    Limiti agli estremi del dominio:

    limite per x tendente a -inf = e^(-1) = 1/e    basta usare il confronto tra infiniti

    limite per x tendente a +inf = e^(-1) = 1/e     come sopra

    limite per x tendente a 2-= e^( 2 / ( 2-2- ) ) = e^( 2 / ( 0+) )= e^(+∞)=+∞

    limite per x tendente a 2+= e^( 2 / ( 2-2+ ) ) = e^( 2 / ( 0-) )= e^(-∞)=0+

    x=2 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione

    Negli ultimi due limiti basta ricorrere all'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

    Derivata prima:

    f ' (x) = e^(x/(2-x)) * (2/(2-x)^2)

    che ha dominio tutto R tranne x=2 ed è sempre positiva, perché è il rapporto di una esponenziale, sempre positiva, e di un quadrato (che è sempre positivo sul dominio).

    Quindi la funzione non ha massimi né minimi ed è sempre crescente.

    Derivata seconda: inutile ai fini del grafico qualitativo, perchè le informazioni su concavità e convessità si possono intuire dalle precedenti informazioni.

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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