Qual è il grafico di questa funzione?
Ciao mi potreste mostrare il grafico della funzione y = e^[ x / (2-x) ] e darmi qualche consiglio per ricavarlo?
Grazie!
Ciao Ely, il grafico della funzione y=e^(x/(2-x)) è
Ma prima di procedere con lo studio, vorrei essere sicuro che il denominatore dell'esponente sia (2-x) e non solo 2.
Replica e dimmi qual è, così procediamo. ;)
Risposta di Omega
sisi il denominatore è (2-x).
Risposta di ely
Benone! Seguiamo le indicazioni per lo studio di funzione.
Dominio: Tutto R tranne il punto x=2, basta richiedere che il denominatore dell'esponente sia diverso da zero.
Segno: è positiva su tutto il dominio perchè l'esponenziale è sempre positiva!
Intersezioni con l'asse delle x: dato che è sempre positiva, non ci sono.
Intersezioni con l'asse delle y:
calcola f(0)=e^(0)=1. Quindi il grafico passa per il punto (0,1).
Limiti agli estremi del dominio:
limite per x tendente a -inf = e^(-1) = 1/e basta usare il confronto tra infiniti
limite per x tendente a +inf = e^(-1) = 1/e come sopra
limite per x tendente a 2-= e^( 2 / ( 2-2- ) ) = e^( 2 / ( 0+) )= e^(+∞)=+∞
limite per x tendente a 2+= e^( 2 / ( 2-2+ ) ) = e^( 2 / ( 0-) )= e^(-∞)=0+
x=2 è un punto di discontinuità di seconda specie per la funzione
Negli ultimi due limiti basta ricorrere all'algebra degli infiniti e degli infinitesimi
Derivata prima:
f ' (x) = e^(x/(2-x)) * (2/(2-x)^2)
che ha dominio tutto R tranne x=2 ed è sempre positiva, perché è il rapporto di una esponenziale, sempre positiva, e di un quadrato (che è sempre positivo sul dominio).
Quindi la funzione non ha massimi né minimi ed è sempre crescente.
Derivata seconda: inutile ai fini del grafico qualitativo, perchè le informazioni su concavità e convessità si possono intuire dalle precedenti informazioni.
Namasté - Agente Ω
Risposta di Omega