Semplificazione di espressioni goniometriche

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Salve, potreste aiutarmi con un esercizio che chiede di semplificare un'espressione goniometrica, riscrivendo l'espressione trigonometrica nella forma più semplice possibile?

 

(3 sin(2α)+tan(2α))/(2tan(2α)).

 

Il risultato è: [3cos^2(α)-1]. Grazie a tutti!

Domanda di Jumpy

 
Soluzioni

  • Eccomi, ciao Jumpy, dammi il tempo di pensarci e di scrivere la risposta :)

    Risposta di Ifrit

  • Grazie per la risposta, adesso posso cominciare:

    \frac{3\sin(2\alpha)+\tan(2\alpha)}{2\tan(2\alpha)}{/tex}

    Tieni sotto mano il formulario con tutte le formule trigonometriche.

    Spezziamo la frazione:

    (3sin(2α))/(2tan(2α))+(tan(2α))/(2tan(2α))

    Per definizione di tangente abbiamo che:

    tan(2α) = (sin(2α))/(cos(2α))

    e semplificando le tangenti al secondo addendo otteniamo

    (3sin(2α))/(2(sin(2α))/(cos(2α)))+(1)/(2)

    La prima frazione diventa:

    (3)/(2)sin(2α)(cos(2α))/(sin(2α))+(1)/(2)

    Semplificando il seno e mettendo in evidenza (1)/(2) abbiamo:

    (1)/(2)(3cos(2α)+1)

    Dalle formule di duplicazione del coseno sappiamo  che:

    cos(2α) = cos^2(α)-sin^2(α)

    Inoltre dalla relazione fondamentale della trigonometria abbiamo:

    1 = sin^2(α)+cos^2(α)

    Sostituendo nella espressione:

    (1)/(2)[3(cos^2(α)-sin^2(α))+sin^2(α)+cos^2(α)] =

    Moltiplichiamo per tre la parentesi interessata:

    (1)/(2)[3cos^2(α)-3sin^2(α)+sin^2(α)+cos^2(α)] =

    Sommiamo i termini simili:

    (1)/(2)[4cos^2(α)-2sin^2(α)] =

    Mettiamo in evidenza il 2:

    (2)/(2)[2cos^2(α)-sin^2(α)]

    Otteniamo:

    2cos^2(α)-sin^2(α)

    A questo punto, sempre dalla relazione fondamentale della trigonometria sappiamo che:

    sin^2(α) = 1-cos^2(α) ⇒-sin^2(α) = cos^2(α)-1

    Sostituiamo:

    2cos^2(α)+cos^2(α)-1 = 3cos^2(α)-1

    Che è quello che volevamo :D

    Risposta di Ifrit
 
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