Soluzioni
  • Eccomi, ciao Jumpy, dammi il tempo di pensarci e di scrivere la risposta :)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie per la risposta, adesso posso cominciare:

    \frac{3\sin(2\alpha)+\tan(2\alpha)}{2\tan(2\alpha)}{/tex}

    Tieni sotto mano il formulario con tutte le formule trigonometriche.

    Spezziamo la frazione:

    \frac{3\sin(2\alpha)}{2\tan(2\alpha)}+\frac{\tan(2\alpha)}{2\tan(2\alpha)}

    Per definizione di tangente abbiamo che:

    \tan(2\alpha)=\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}

    e semplificando le tangenti al secondo addendo otteniamo

    \frac{3\sin(2\alpha)}{2\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}}+\frac{1}{2}

    La prima frazione diventa:

    \frac{3}{2}\sin(2\alpha)\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}+\frac{1}{2}

    Semplificando il seno e mettendo in evidenza \frac{1}{2} abbiamo:

    \frac{1}{2}\left(3\cos(2\alpha)+1\right)

    Dalle formule di duplicazione del coseno sappiamo  che:

    \cos(2\alpha)= \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)

    Inoltre dalla relazione fondamentale della trigonometria abbiamo:

    1= \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)

    Sostituendo nella espressione:

    \frac{1}{2}[3(\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha))+\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)]=

    Moltiplichiamo per tre la parentesi interessata:

    \frac{1}{2}[3\cos^2(\alpha)-3\sin^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)]=

    Sommiamo i termini simili:

    \frac{1}{2}[4\cos^2(\alpha)-2\sin^2(\alpha)]=

    Mettiamo in evidenza il 2:

    \frac{2}{2}[2\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)]

    Otteniamo:

    2\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)

    A questo punto, sempre dalla relazione fondamentale della trigonometria sappiamo che:

    \sin^2(\alpha)=1 -\cos^2(\alpha)\implies -\sin^2(\alpha)= \cos^2(\alpha)-1

    Sostituiamo:

    2\cos^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)-1= 3\cos^2(\alpha)-1

    Che è quello che volevamo :D

    Risposta di Ifrit
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