Soluzioni
  • Consideriamo il limite

    \lim_{x\to0}\frac{\cos^2(x)+x^2-1}{x^4}=(\bullet)

    che genera una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Possiamo risolverla utilizzando uno sviluppo di Taylor-McLaurin notevole, ma conviene prima di tutto utilizzare la relazione fondamentale della trigonometria che giustifica l'identità

    \cos^2(x)-1=-\sin^2(x)

    Grazie a tale uguaglianza il limite si esprime in forma equivalente come

    (\bullet)=\lim_{x\to0}\frac{x^2-\sin^2(x)}{x^4}=(\bullet\bullet)

    Invece di sviluppare il quadrato della funzione coseno, sviluppiamo il quadrato della funzione seno. Lo sviluppo del seno è noto

    \sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

    Elevando i due membri al quadrato otteniamo della funzione che ci interessa a meno del segno

    \sin^2(x)=\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^2=

    In accordo con la regola relativa al quadrato di trinomio, otteniamo l'espressione equivalente

    =x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+2xo(x^3)-\frac{x^3}{3}o(x^3)+(o(x^3))^2=

    che, grazie alle proprietà degli o-piccolo si esprime come

    \\ =x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^4)+o(x^6)+o(x^6)= \\ \\ \\ =x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^4)=

    L'o-piccolo sopravvissuto è o(x^4) dunque dobbiamo trascurare tutte le potenze che hanno esponente maggiore di 4

    =x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)

    Rimpiazziamo lo sviluppo ottenuto nel limite che diventa

    \\ (\bullet\bullet)=\lim_{x\to0}\frac{x^2-\left(x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)\right)}{x^4}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^4}{3}+o(x^4)}{x^4}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{3}+\frac{o(x^4)}{x^4}\right)=\frac{1}{3}

    dove nell'ultimo passaggio è intervenuta la relazione notevole che scaturisce dalla definizione stessa di o-piccolo

    \lim_{x\to0}\frac{o(x^4)}{x^4}=0

    In definitiva possiamo concludere che il limite iniziale è \frac{1}{3}.

    Risposta di Ifrit
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