massimo e minimo assoluti

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chi mi risolve gentilmente questo esericizio?

Detemina max e min assoluti di f(x,y)=xy su M={(x,y) appartenente a R2 tale che x2+y2+xy=1}

 

ho impostato la lagrangiana e ho posto le derivate parziali uguali a zero, poi? che devo fare? :( help me please :)

Domanda di Francy91

 
Soluzioni

  • Ciao Francy91, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega

  • Vediamo qual'è il procedimento per determinare i massimi e i minimi assoluti:

    1) Scrivi la funzione lagrangiana (fatto);

    2) Calcoli il gradiente della Lagrangiana (fatto);

    3) Cerchi i punti stazionari della Lagrangiana, i.e. i punti che annullano il gradiente della Lagrangiana (fatto);

    4) Effettui le valutazioni della funzione nei punti stazionari: considera solamente la funzione e non la Lagrangiana, e non prendere quindi in considerazione i valori ottenuti per il moltiplicatore di Lagrange nell'annullamento del gradiente della Lagrangiana;

    5) Confronti i valori della funzione f(x,y) ottenuti, e deduci i massimi e minimi assoluti;

    Domanda da un milione di dollari: perché ho parlato di estremanti assoluti con tutta questa sicurezza? Qual'è il teorema che ne garantisce l'esistenza in questo caso?

    Se vuoi vedere i conti insieme, non esitare a chiedere! Wink Mi sono limitato al semplice procedimento perché ti vedo determinato/a a risolvere l'esercizio da solo/a.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • se per te non è un problema preferirei vedere i conti... più che altro perchè non riesco a trovare i punti stazionari e quindi non posso andare avanti xD

    grazie

    Risposta di Francy91

  • Non è assolutamente un problema, siamo ben lieti di essere utili. Wink Giusto il tempo di scriverli...

    Risposta di Omega

  • Cominciamo con lo scrivere la Lagrangiana:

    L(x,y,c) = f(x,y)-cg(x,y) = xy-c(x^2+y^2+xy-1)

    dove c è il moltiplicatore di Lagrange, mentre

    Calcoliamoci le derivate parziali, cioè il gradiente della Lagrangiana:

    (dL)/(dx)(x,y,c) = y-2cx-cy

    (dL)/(dy)(x,y,c) = x-2cy-cx

    (dL)/(dc)(x,y,c) = -(x^2+y^2+xy-1)

    Cerchiamo i punti che annullano il gradiente, quindi imponiamo che le derivate parziali si annullino. Troviamo

    y(1-c) = 2cx

    y(1-c) = 2cx

    x^2+y^2+xy = -1

    ossia, smanettando un attimino

    (y-x)(1-c) = 0

    y(1-c) = 2cx

    x^2+y^2+xy = -1

    Partendo dalla prima equazione troviamo come possibili terne che annullano il gradiente

    (1,-1,-1),(-1,1,-1),((1)/(√(3)),(1)/(√(3),(1)/(3))),(-(1)/(√(3)),-(1)/(√(3),(1)/(3)))

    Ora sostituiamo nella funzione

    z = f(x,y)

    i valori trovati (i primi due valori di ogni terna), e otteniamo

    f(1,-1) = -1

    f(-1,1) = -1

    f((1)/(√(3)),(1)/(√(3))) = (1)/(3)

    f(-(1)/(√(3)),-(1)/(√(3))) = (1)/(3)

    e quindi le prime due coppie realizzano punti di minimo assoluto, le ultime due realizzano punti di massimo assoluto. L'esistenza, a proposito, era garantita sin dal principio dal teorema di Weierstrass: "una funzione continua definita su un compatto (un chiuso e limitato, dato che siamo in R^2) ammette in esso un massimo ed un minimo assoluti".

    Se hai dei dubbi, non esitare a chiedere.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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