Soluzioni
  • Ciao Francy91, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Vediamo qual'è il procedimento per determinare i massimi e i minimi assoluti:

    1) Scrivi la funzione lagrangiana (fatto);

    2) Calcoli il gradiente della Lagrangiana (fatto);

    3) Cerchi i punti stazionari della Lagrangiana, i.e. i punti che annullano il gradiente della Lagrangiana (fatto);

    4) Effettui le valutazioni della funzione nei punti stazionari: considera solamente la funzione e non la Lagrangiana, e non prendere quindi in considerazione i valori ottenuti per il moltiplicatore di Lagrange nell'annullamento del gradiente della Lagrangiana;

    5) Confronti i valori della funzione f(x,y) ottenuti, e deduci i massimi e minimi assoluti;

    Domanda da un milione di dollari: perché ho parlato di estremanti assoluti con tutta questa sicurezza? Qual'è il teorema che ne garantisce l'esistenza in questo caso?

    Se vuoi vedere i conti insieme, non esitare a chiedere! Wink Mi sono limitato al semplice procedimento perché ti vedo determinato/a a risolvere l'esercizio da solo/a.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • se per te non è un problema preferirei vedere i conti... più che altro perchè non riesco a trovare i punti stazionari e quindi non posso andare avanti xD

    grazie

    Risposta di Francy91
  • Non è assolutamente un problema, siamo ben lieti di essere utili. Wink Giusto il tempo di scriverli...

    Risposta di Omega
  • Cominciamo con lo scrivere la Lagrangiana:

    L(x,y,c)=f(x,y)-cg(x,y)=xy-c(x^2+y^2+xy-1)

    dove c è il moltiplicatore di Lagrange, mentre

    Calcoliamoci le derivate parziali, cioè il gradiente della Lagrangiana:

    \frac{dL}{dx}(x,y,c)=y-2cx-cy

    \frac{dL}{dy}(x,y,c)=x-2cy-cx

    \frac{dL}{dc}(x,y,c)=-(x^2+y^2+xy-1)

    Cerchiamo i punti che annullano il gradiente, quindi imponiamo che le derivate parziali si annullino. Troviamo

    y(1-c)=2cx

    y(1-c)=2cx

    x^2+y^2+xy=-1

    ossia, smanettando un attimino

    (y-x)(1-c)=0

    y(1-c)=2cx

    x^2+y^2+xy=-1

    Partendo dalla prima equazione troviamo come possibili terne che annullano il gradiente

    (1,-1,-1),(-1,1,-1),\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3},\frac{1}{3}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3},\frac{1}{3}}\right)

    Ora sostituiamo nella funzione

    z=f(x,y)

    i valori trovati (i primi due valori di ogni terna), e otteniamo

    f(1,-1)=-1

    f(-1,1)=-1

    f\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{3}

    f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{3}

    e quindi le prime due coppie realizzano punti di minimo assoluto, le ultime due realizzano punti di massimo assoluto. L'esistenza, a proposito, era garantita sin dal principio dal teorema di Weierstrass: "una funzione continua definita su un compatto (un chiuso e limitato, dato che siamo in \mathbb{R}^2) ammette in esso un massimo ed un minimo assoluti".

    Se hai dei dubbi, non esitare a chiedere.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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