Soluzioni
  • Ciao Rea, il tempo di scrivere la risoluzione e sono da te :) nel frattempo ti consiglio di dare uno sguardo alla lezione in cui spieghiamo come risolvere le disequazioni logaritmiche.

    Risposta di Ifrit
  • ok grazie :)

    Risposta di Rea
  • La disequazione logaritmica è:

    \log\left(\frac{x}{4+x}\right)-\log\left(\frac{2+x}{1-x}\right)<-4

    La prima cosa che bisogna fare è calcolare le condizioni di esistenza: il logaritmo infatti pretende che il suo argomento sia maggiore di zero:

    Cominciamo col primo logaritmo:

    \frac{x}{4+x}>0

    E' una disequazione razionale fratta, dovremo studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore:

    x>0

    4+x>0

    implica

    x>-4 Tabuliamo i segni:

    x: - - - - - - - - - (-4) - - - - - - 0 + + + + + + + + + + +

    4+x: - - - - - - -(-4)+ + + +  0 + + + + + + + + + + +

    \frac{x}{4+x}:+ + + + + (-4) - - - - - 0 + + + + + + + + + + 

    Il primo logaritmo ha per campo d'esistenza: (-\infty, -4)\cup(0, \infty).

    Andiamo col secondo:

    \frac{2+x}{1-x}>0

    Come prima troviamo il segno del numeratore e del denominatore:

    2+x>0 

    implica

    x>-2

    1-x>0 implica

    x<1

    Tabuliamo i segni:

    2+x: - - - - - - - - - - - - -  -(-2) + + + + + + + + (1) + + + + + + + + + 

    1-x : + + + + + ++ + + + (-2) ++ + + + + + +  (1) - - - - - - - - - - - -- 

    \frac{2+x}{1-x} - - - - - - - - - -(-2) + + + + +  ++  +(1) - - - - - - - -  -

    Il campo d'esistenza del secondo logaritmo è: (-2,1)

    In definitiva il campo d'esistenza della disequazione è (0, 1)

     

    Adesso per la proprietà dei logaritmi:

    \log(a)-\log(b)= \log(a/b) 

    possiamo scrivere la disequazione di partenza come:

    \log\left(\frac{\frac{x}{4+x}}{\frac{2+x}{1-x}}\right)<-4

    cioé:

    \log\left(\frac{x(1-x)}{(4+x)(2+x)}\right)<-4

    Applicando l'esponenziale membro a mebro, otteniamo:

    {tex}\frac{x(1-x)}{(4+x)(2+x)}

    Portiamo a primo membro:

    \frac{x(1-x)}{(4+x)(2+x)}-e^{-4}<0

    Minimo comune multiplo:

    \frac{x(1-x)- e^{-4}(4+x)(2+x)}{(4+x)(2+x)}<0

    Osserva ora che il segno della frazione dipende esclusivamente dal numeratore, questo perché nel dominio, il denominatore è positivo.

    x(1-x)- e^{-4}(4+x)(2+x)<0

    Facendo i conti otterrai:

    \frac{-(1+e^4)x^2+(6+e^4)x-8}{e^4}<0

    Calcoliamo il discriminante del numeratore:

    \Delta= (6+e^4)^4-4(-8)[-(1+e^4)]=32 (-1-e^4)+(6+e^4)^4> 0...

    Mi devo fermare... I conti sono troppo "strani" e mi è sorto il fortissimo dubbio che il logaritmo fosse in base 2.

    Fammi sapere, se è corretto continuo :)

    Risposta di Ifrit
  • ok!va benissimo!|!!!

    Risposta di Rea
  • Non va benissimo :)

    Aspetta Rea, devo sapere se il logaritmo era in base 2. I conti che escono fuori sono fuori dall'umana comprensione xD XD

    Risposta di Ifrit
  • oh cavoli!!scusa!!non me ne ero accorta!!!in effetti si...grazie mille!!

    Risposta di Rea
  • Ok, mi devi dare il tempo di rivedere lo svolgimento alla luce della modifica, ok ? :D

    Risposta di Ifrit
  • come vuoi...ma comunque ho capito!!!per me puo bastare anche cosi!!me lo rivedo un po io!!grazie mille che mi hai aiutato a rispolverare l argomento!!!:)

    Risposta di Rea
  • Fino a \log_{2}\left(\frac{x(1-x)}{(4+x)(2+x)}\right)<-4

     

    E' identico, a questo punto applichiamo membro a membro l'esponeziale in base 2:

    \frac{x(1-x)}{(4+x)(2+x)}<2^{-4}

    Portiamo al primo membro:

    \frac{x(1-x)}{(4+x)(2+x)}-\frac{1}{16}<0

    minimo comune multiplo

    \frac{16 x(1-x)- (4+x)(2+x)}{16 (4+x)(2+x)}<0

    Il segno di questa frazione dipende esclusivamente dal numeratore, questo perché il denominatore è positivo nel dominio:

    16 x(1-x)- (4+x)(2+x)<0

    Facendo i conti otteniamo:

    -8+10x-17 x^2<0

    Risolviamo l'equazione associata:

    -17 x^2+10x-8=0

    Il discriminante è:

    \Delta= 100-4*8*17<0

    Quindi non si hanno soluzioni 

    Poiché il coefficiente della x^2 è minore di zero allora la disequazione:

    -8+10x-17x^2<0

    è vera sempre e lo sarà in particolare per x\in (0, 1).

     

    L'insieme soluzione della disequazione logaritmica coincide col suo dominio.

     

    Spero sia chiaro, ma soprattutto spero sia corretto. Nel caso non lo fosse, consiglio di cancellare questa domanda e ricominciare da capo :)

    Risposta di Ifrit
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