Punto equidistante da due punti

Come si risolvono gli esercizi sui punti equidistanti da due punti? Ad esempio qui ho due esercizi sulle distanze tra due punti, in entrambi i casi devo determinare un punto che sia equidistante da due punti. Vi scrivo il testo.

 

1) Determina il punto P sull'asse x equidistante da A=(-1 2) e B=(4 5).

 

2) Determina il punto P che ha ordinata uguale all'ascissa ed è equidistante da A=(-3 1) e B=(4 3).

In Superiori - Geometria - Domanda di Dam

Soluzioni

  • Per risolvere il primo dei due problemi, cioè trovare il punto P sull'asse delle x che sia equidistante dai punti A=(-1,2) e B=(4,5), dobbiamo imporre due condizioni che vanno messe a sistema.

    La prima: il punto P deve trovarsi sull'asse delle ascisse, quindi deve avere ordinata pari a zero

    y_P=0

    La seconda: le distanze tra ciascun punto e P, calcolate con la solita formula della distanza tra due punti, devono coincidere

    \overline{AP}=\overline{BP}

    quindi

    \sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}=\sqrt{(x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2}

    grazie alla prima condizione y_P=0 e sostituendo i valori delle coordinate troviamo

    \sqrt{(-1-x)^2+(2)^2}=\sqrt{(4-x)^2+(5)^2}

    Entrambi i radicandi sono sicuramente positivi perché sono entrambi somme di una quantità non negativa e di un numero positivo, per cui possiamo elevare entrambi i membri al quadrato:

    (-1-x)^2+(2)^2=(4-x)^2+(5)^2

    Svolgiamo i calcoli sviluppando i quadrati dei binomi

    x^2+2x+1+4=x^2-8x+16+25

    da cui ricaviamo

    10x=36

    e quindi

    x=\frac{18}{5}

    Concludiamo che il punto ha coordinate P=\left(\frac{18}{5},0\right).

    Il secondo esercizio lo lascio a te: lo schema da seguire è del tutto analogo a quello che abbiamo appena visto. Devi usare la formula per la distanza tra due punti e sfruttare la condizione aggiuntiva che viene indicata dalla traccia del problema.

    Nel primo esercizio abbiamo dovuto imporre che il punto P fosse situato sull'asse delle x (y_P=0), nel secondo esercizio invece dovrai imporre che ascissa e ordinata del punto P siano uguali, e dunque x_P=y_P.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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