Limite fratto con stime asintotiche dei limiti notevoli

Ricorriamo alle equivalenze asintotiche derivanti dai limiti notevoli per calcolare il limite

in particolare intervengono:

- la stima asintotica del logaritmo

valida nel momento in cui l'argomento del logaritmo tende ad 1, o in modo equivalente quando ;

- la stima asintotica del coseno

valida nel momento in cui l'argomento del coseno tende a 0. In virtù delle stime asintotiche notevoli otteniamo le seguenti relazioni asintotiche

e grazie al principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti il limite di partenza diventa

Dato che dobbiamo estrarre la radice quadrata di , che è , il tendere di a 0 da destra o da sinistra fa molta differenza: dobbiamo distinguere necessariamente i due casi.

Se allora dalla definizione di valore assoluto otteniamo e dunque il limite sinistro vale

Se invece allora e il limite destro vale

Poiché il limite destro e il limite sinistro sono sì finiti ma non coincidono deduciamo che il limite bilatero non esiste.

Prima di salutarti, mi permetto di consigliarti la lezione su come utilizzare i limiti notevoli.