Soluzioni
  • Ricorriamo alle equivalenze asintotiche derivanti dai limiti notevoli per calcolare il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-7x)}{\sqrt{1-\cos(x)}}=(\bullet)

    in particolare intervengono:

    - la stima asintotica del logaritmo

    \ln(1+f(x))\sim_{f(x)\to f(x)}f(x)

    valida nel momento in cui l'argomento del logaritmo tende ad 1, o in modo equivalente quando f(x)\to 0;

    - la stima asintotica del coseno

    1-\cos(f(x))\sim_{f(x)\to 0}\frac{1}{2}[f(x)]^2

    valida nel momento in cui l'argomento del coseno tende a 0. In virtù delle stime asintotiche notevoli otteniamo le seguenti relazioni asintotiche

    \\ \ln(1-7x)\sim_{x\to 0}-7x \\ \\ 1-\cos(x)\sim_{x\to 0}\frac{1}{2}x^2

    e grazie al principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti il limite di partenza diventa

    (\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{-7x}{\sqrt{\frac{1}{2}x^2}}

    Dato che dobbiamo estrarre la radice quadrata di x^2, che è \sqrt{x^2}=|x|, il tendere di x a 0 da destra o da sinistra fa molta differenza: dobbiamo distinguere necessariamente i due casi.

    Se x\to 0^{-} allora dalla definizione di valore assoluto otteniamo \sqrt{x^2}=|x|=-x e dunque il limite sinistro vale

    \lim_{x\to 0^{-}}\frac{-7x}{-\sqrt{\frac{1}{2}}x}= 7\sqrt{2}

    Se invece x\to 0^{+} allora \sqrt{x^2}=|x|=x e il limite destro vale

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{-7x}{\sqrt{\frac{1}{2}}x}= -7\sqrt{2}

    Poiché il limite destro e il limite sinistro sono sì finiti ma non coincidono deduciamo che il limite bilatero non esiste.

    Prima di salutarti, mi permetto di consigliarti la lezione su come utilizzare i limiti notevoli.

    Risposta di Ifrit
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