Retta tangente nel punto di flesso

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Non riesco a determinare l'equazione della retta tangente nel punto di flesso per la funzione proposta dal seguente esercizio, potete aiutarmi per favore? Dovrei anche verificare quello che ho fatto...

 

y = 4ln(x)+2x^(2)+x+1.

 

Immagino di dover calcolare prima il punto di flesso, ma poi come procedo per trovare la retta tangente?

Domanda di nea16

 
Soluzioni

  • Poniamo

    f(x) = 4 log(x)+2x^2+x+1

    la funzione ha per dominio x>0, e questo a causa del logaritmo, il quale pretende che il suo argomento sia positivo.

    Calcoliamo la derivata prima con la regola di derivazione della somma

    f'(x) = (4)/(x)+4x+1 = (4x^2+x+4)/(x)

    La derivata seconda è invece

    f''(x) = -(4)/(x^2)+4 = (-4+4 x^2)/(x^2)

    I punti di flesso annullano la derivata seconda, pertanto per trovarli dobbiamo risolvere l'equazione:

    f''(x) = 0 ⇒ (4x^2-4)/(x^2) = 0

    Abbiamo un rapporto: esso è nullo se e solo se il numeratore è nullo, quindi:

    4x^2-4 = 0 ⇒ 4(x^2-1) = 0 ⇒ x^2-1 = 0

    le soluzioni sono:

    x_1 = -1 qquad qquad x_2 = 1

    L'unica soluzione accettabile è x_2 = 1, giacché il dominio è (0,+∞) 

    Accertiamoci che x_2 = 1 sia effettivamente un punto di flesso e per farlo studiamo il segno della derivata seconda:

    f''(x) ≥ 0 ⇒ (4x^2-4)/(x^2) ≥ 0

    risolvendo la corrispondente disequazione fratta.

    Il denominatore è sicuramente maggiore di zero, dunque il segno della derivata seconda dipende esclusivamente da quello del numeratore:

    4x^2-4 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 ∨ x ≥ 1

    Conseguentemente la derivata seconda è positiva in (1,+∞), è negativa in (0, 1).

    Pertanto in x_2 = 1 la funzione originaria presenta effettivamente un cambio di concavità.

    A questo punto possiamo calcolare la retta tangete al grafico della funzione. Ricordiamo la formula della retta tangente al grafico di una funzione derivabile in un punto x_0:

    y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

    nel nostro caso

    x_0 = 1 ; f(x_0) = f(1) = 4 ; f'(x_0) = f'(1) = 9

    La retta tangente al grafico della funzione nel punto x = 1 è quindi:

    y = 9 (x-1)+4 = 9x-9+4 = 9x-5

    Risposta di Ifrit
 
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