Soluzioni
  • Ciao yasmab, il tuo quesito è davvero interessante, mi dai qualche momento che ci penso? :D

    Risposta di Ifrit
  • Peccato, per adesso non mi viene niente di furbo, quindi ti indico la via standard, richiede un po' di conti, ma almeno è sicura ;)

    Un polinomio generico di quarto grado si scrive nella forma:

    A(x) = a x^4+b x^3+c x^2+d x+e con a ne 0

    A(x-1) = a (x-1)^4+b (x-1)^3+c (x-1)^2+d(x-1)+e

    = a x^4+(-4a+b)x^3+(6a-3b+c)x^2+(-4a+3 b-2 c+d) x+a-b+x-d+e

    Adesso effettuando le operazioni A(x)-A(x-1), con calma, sono lunghe :D, otteniamo:

     

    A(x)-A(x-1) = 4a x^3+3(-2a+b)x^2+(4a-3 b+2 c)x-a+b-c+d

     

    Imponiamo l'uguaglianza con il polinomio di grado 3:

     

    4a x^3+3(-2a+b)x^2+(4a-3 b+2 c)x-a+b-c+d = x^3

     

    Per il principio di identità dei polinomi abbiamo che:

     

    4a = 1 ⇒ a = (1)/(4)

    3(-2a+b) = 0 ⇒-2a+b = 0 ⇒ b = 2 a = (1)/(2)

    4a-3b+2c = 0 ⇒ c = (3b-4a)/(2) ⇒ c = (1)/(4)

    -a+b-c+d = 0 ⇒ d = a-b+c = 0

    Quindi il polinomio di grado quattro che soddisfa le nostre richieste è:

    A(x) = (1)/(4) x^4+(1)/(2) x^3+(1)/(4)x^2+e

    Dove e è un qualsiasi numero reale. 

    Ti prego di ricontrollare i conti. Se trovassi delle falle, dimmelo, così correggiamo :D

    Risposta di Ifrit
 
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