Esercizio polinomi

Ciao a tutti, avrei un esercizio da chiarire:

Formare un polinomio A(x) di  4° grado tale che A(x)-A(x-1)=x3

Grazie di tutto.

Domanda di yasmab
Soluzioni

Ciao yasmab, il tuo quesito è davvero interessante, mi dai qualche momento che ci penso? :D

Risposta di Ifrit

Peccato, per adesso non mi viene niente di furbo, quindi ti indico la via standard, richiede un po' di conti, ma almeno è sicura ;)

Un polinomio generico di quarto grado si scrive nella forma:

A(x) = a x^4+b x^3+c x^2+d x+e con a ne 0

A(x-1) = a (x-1)^4+b (x-1)^3+c (x-1)^2+d(x-1)+e

= a x^4+(-4a+b)x^3+(6a-3b+c)x^2+(-4a+3 b-2 c+d) x+a-b+x-d+e

Adesso effettuando le operazioni A(x)-A(x-1), con calma, sono lunghe :D, otteniamo:

A(x)-A(x-1) = 4a x^3+3(-2a+b)x^2+(4a-3 b+2 c)x-a+b-c+d

Imponiamo l'uguaglianza con il polinomio di grado 3:

4a x^3+3(-2a+b)x^2+(4a-3 b+2 c)x-a+b-c+d = x^3

Per il principio di identità dei polinomi abbiamo che:

4a = 1 ⇒ a = (1)/(4)

3(-2a+b) = 0 ⇒-2a+b = 0 ⇒ b = 2 a = (1)/(2)

4a-3b+2c = 0 ⇒ c = (3b-4a)/(2) ⇒ c = (1)/(4)

-a+b-c+d = 0 ⇒ d = a-b+c = 0

Quindi il polinomio di grado quattro che soddisfa le nostre richieste è:

A(x) = (1)/(4) x^4+(1)/(2) x^3+(1)/(4)x^2+e

Dove e è un qualsiasi numero reale. 

Ti prego di ricontrollare i conti. Se trovassi delle falle, dimmelo, così correggiamo :D

Risposta di Ifrit

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