Soluzioni
  • Ciao yasmab, il tuo quesito è davvero interessante, mi dai qualche momento che ci penso? :D

    Risposta di Ifrit
  • Peccato, per adesso non mi viene niente di furbo, quindi ti indico la via standard, richiede un po' di conti, ma almeno è sicura ;)

    Un polinomio generico di quarto grado si scrive nella forma:

    A(x)= a x^4+b x^3+ c x^2+ d x+ e con a\ne 0

    A(x-1)= a (x-1)^4+ b (x-1)^3 + c (x-1)^2+ d(x-1) +e

    = a x^4+(-4a+b)x^3+(6a-3b+c)x^2 +(-4a+3 b-2 c+d) x+a- b+x-d+ e

    Adesso effettuando le operazioni A(x)-A(x-1), con calma, sono lunghe :D, otteniamo:

     

    A(x)-A(x-1)=4a x^3+3(-2a+b)x^2+(4a - 3 b+2 c)x -a+b-c+d

     

    Imponiamo l'uguaglianza con il polinomio di grado 3:

     

    4a x^3+3(-2a+b)x^2+(4a - 3 b+2 c)x -a+b-c+d= x^3

     

    Per il principio di identità dei polinomi abbiamo che:

     

    4a= 1\implies a= \frac{1}{4}

    3(-2a+b)=0 \implies -2a+b=0\implies b= 2 a= \frac{1}{2}

    4a-3b+2c = 0\implies c= \frac{3b-4a}{2}\implies c= \frac{1}{4}

    -a+b -c+d = 0\implies d= a-b+c=0

    Quindi il polinomio di grado quattro che soddisfa le nostre richieste è:

    A(x)=\frac{1}{4} x^4+\frac{1}{2} x^3+\frac{1}{4}x^2 + e

    Dove e è un qualsiasi numero reale. 

    Ti prego di ricontrollare i conti. Se trovassi delle falle, dimmelo, così correggiamo :D

    Risposta di Ifrit
 
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