Soluzioni
  • Il limite è

    \lim_{x\to 0}\frac{2x+\sin(4x)}{\tan(x)}

    e lo risolveremo ricorrendo a due limiti notevoli:

    - il limite notevole della funzione seno

    \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1

    - il limite notevole della funzione tangente

    \lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)}{x}=1

    In qualche modo dobbiamo ricondurci ai due limiti usando degli opportuni trucchi algebrici. Per raggiungere il risultato moltiplichiamo e dividiamo per 4x il termine trigonometrico

    \\ \lim_{x\to 0}\frac{2x+\sin(4x)}{\tan(x)}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{2x+4x\cdot\frac{\sin(4x)}{4x}}{\tan(x)}=

    In virtù del limite notevole del seno il termine \frac{\sin(4x)}{4x} tende ad 1 per x\to 0

    \\ =\lim_{x\to 0}\frac{2x+4x}{\tan(x)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{6x}{\tan(x)}=

    A questo punto trasportiamo la costante moltiplicativa fuori dal simbolo di limite

    = 6\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan(x)}=6\cdot 1=6

    Il risultato è 6 perché quello rimasto è il reciproco del limite notevole della tangente e vale 1.

    Risposta di Ifrit
 
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