Soluzioni
  • Prima di dedicarci al problema riportiamo alcune definizioni preliminari.

    Lo spazio delle righe di una matrice A con m righe ed n colonne, a elementi in un campo \mathbb{K}, è il sottospazio vettoriale di \mathbb{K}^{n} generato dalle righe di A.

    In altri termini, se \mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_{m} sono le righe della matrice A, allora lo spazio delle righe di A, che denotiamo con R è lo span delle m righe

    R=\mbox{Span}(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_{m})

    Si può dimostrare inoltre che il rango della matrice A coincide con la dimensione del sottospazio R.

    \mbox{dim}(R)=\mbox{rk}(A)

    Alla luce di queste considerazioni, per calcolare la dimensione dello spazio delle righe della matrice

    A=\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\ 2&1&0&2\\ 2&7&-4&-2\end{pmatrix}

    basta determinare il rango della matrice. Per farlo possiamo procedere con il metodo di Gauss per ridurre a scala A: il rango della matrice coincide con il numero di pivot della ridotta.

    Per cancellare il termine che si trova all'incrocio tra la seconda riga e la prima colonna, utilizziamo la mossa di Gauss

    \mathbf{r}_2\ \to \ \mathbf{r}_2-2\,\mathbf{r}_1=(2,1,0,2)-2(1,2,-1,0)= \\ \\ =(0,-3,2,2)

    riconducendoci così alla matrice

    A'=\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\ 0&-3&2&2\\ 2&7&-4&-2\end{pmatrix}

    Annulliamo il termine che si trova nell'incrocio della terza riga e la terza colonna con la mossa di Gauss

    \mathbf{r}_3\ \to \ \mathbf{r}_3-2\,\mathbf{r}_1=(2,7,-4,-2)-2(1,2,-1,0)= \\ \\ =(0,3,-2,-2)

    La matrice che ne consegue è:

    A''=\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\ 0&-3&2&2\\ 0&3&-2&-2\end{pmatrix}

    Annulliamo infine l'elemento che occupa l'incrocio della terza riga con la terza colonna usando la mossa di Gauss

    \\ \mathbf{r}_3\ \to \ \mathbf{r}_3+\mathbf{r}_2=(0,3,-2,-2)+(0,-3,2,2)= \\ \\ =(0,0,0,0)

    Otteniamo così la matrice ridotta a scala

    A'''=\begin{pmatrix}1&2&-1&0\\ 0&-3&2&2\\ 0&0&0&0\end{pmatrix}

    Gli elementi a_{11}'''=1, a_{22}'''=-3 sono i suoi pivot e poiché sono 2, possiamo affermare che rango di A così come è due la dimensione del sottospazio generato dalle righe della matrice

    \mbox{rk}(A)=2 \ \ \ \implies \ \ \ \mbox{dim}(R)=2.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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