Dimensione dello spazio delle righe di una matrice

Prima di dedicarci al problema riportiamo alcune definizioni preliminari.

Lo spazio delle righe di una matrice con righe ed colonne, a elementi in un campo , è il sottospazio vettoriale di generato dalle righe di .

In altri termini, se sono le righe della matrice , allora lo spazio delle righe di , che denotiamo con è lo span delle righe

Si può dimostrare inoltre che il rango della matrice coincide con la dimensione del sottospazio .

Alla luce di queste considerazioni, per calcolare la dimensione dello spazio delle righe della matrice

basta determinare il rango della matrice. Per farlo possiamo procedere con il metodo di Gauss per ridurre a scala : il rango della matrice coincide con il numero di pivot della ridotta.

Per cancellare il termine che si trova all'incrocio tra la seconda riga e la prima colonna, utilizziamo la mossa di Gauss

riconducendoci così alla matrice

Annulliamo il termine che si trova nell'incrocio della terza riga e la terza colonna con la mossa di Gauss

La matrice che ne consegue è:

Annulliamo infine l'elemento che occupa l'incrocio della terza riga con la terza colonna usando la mossa di Gauss

Otteniamo così la matrice ridotta a scala

Gli elementi sono i suoi pivot e poiché sono , possiamo affermare che rango di così come è due la dimensione del sottospazio generato dalle righe della matrice

.

Abbiamo finito!