Soluzioni
  • Eccomi, ciao erika, il tempo di scrivere la domanda! :D

    Risposta di Ifrit
  • Ok (ri-)cominciamo :)

    Abbiamo la serie:

    \sum_{k=0}^\infty (k+1) q^k

    Probabilmente l'esercizio chiede per quali valori di q la serie converge. Innanzitutto bisogna richiedere la condizione necessaria per la convergenza:

    \lim_{k\to \infty} (k+1) q^k=0

    Questo avviene quando la base dell'esponenziale è , in modulo, minore di 1:  

    \lim_{k\to \infty}(k+1) q^k=0

    se e solo se 

    |q|\textless 1

    Dobbiamo quindi concentrarci a studiare la serie per -1\textless q\textless +1. Per risparmiare conti e tempo, studieremo la convergenza assoluta:

    \sum_{k=0}^\infty (k+1)|q|^k

    Ci viene in soccorso il criterio del rapporto:

    \lim_{k\to +\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\lim_{k\to \infty}\frac{(k+1+1)| q|^{k+1}}{(k+1) |q|^k}

    Semplificando in modo opportuno:

    \lim_{k\to +\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\lim_{k\to \infty}\frac{(k+2)| q|}{k+1}

    Ma 

    \lim_{k\to \infty}\frac{(k+2)| q|}{k+1}=|q|

    Per il criterio del rapporto, la serie converge se il limite appena svolto è minore di uno.

    Dunque se |q|\textless 1 la serie converge assolutamente, e quindi semplicemente, se e solo se -1\textless q\textless +1

    Risposta di Ifrit
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