Soluzioni
  • Esistono diverse strategie che consentono di calcolare il limite

    \lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}

    ad esempio potremmo usare le formule di prostaferesi, oppure un trucco algebrico che permette di ricondurci a limiti di rapporti incrementali di opportune funzioni goniometriche.

    Limite con le formule di prostaferesi

    Il limite si risolve facilmente se usiamo le formule

    \\ \cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\\ \\ \\ \sin(\alpha)-\sin(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

    valide per ogni \alpha,\beta\in\mathbb{R} e grazie alle quali possiamo scrivere le seguenti identità:

    - per la differenza di coseni vale

     \\ \cos(x)-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin\left(\frac{x+\dfrac{\pi}{3}}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\dfrac{\pi}{3}}{2}\right)= \\ \\ \\ =-2\sin\left(\frac{3x+\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{3x-\pi}{6}\right)

    - per la differenza di seni vale invece

    \sin(x)-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\left(\dfrac{x+\dfrac{\pi}{3}}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x-\frac{\pi}{3}}{2}\right)= \\ \\ \\ =2\cos\left(\frac{3x+\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{3x-\pi}{6}\right)

    Grazie a queste uguaglianze, il limite

    \lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=

    diventa

    =\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{-2\sin\left(\dfrac{3x+\pi}{6}\right)\sin\left(\dfrac{3x-\pi}{6}\right)}{2\cos\left(\dfrac{3x+\pi}{6}\right)\sin\left(\dfrac{3x-\pi}{6}\right)}=

    Semplifichiamo

    =\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{-\sin\left(\dfrac{3x+\pi}{6}\right)}{\cos\left(\dfrac{3x+\pi}{6}\right)}=

    e risolviamo il limite per sostituzione diretta

    \\ =\frac{-\sin\left(\dfrac{3\cdot\dfrac{\pi}{3}+\pi}{6}\right)}{\cos\left(\dfrac{3\cdot\dfrac{\pi}{3}+\pi}{6}\right)}=\\ \\ \\ =-\frac{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=-\sqrt{3}

    Limite di rapporti incrementali

    Con un trucco algebrico possiamo trasformare il limite

    \lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=

    nel prodotto di limiti di rapporti incrementali e quindi calcolarlo sfruttando la definizione di derivata. Moltiplichiamo e dividiamo per x-\frac{\pi}{3}

    =\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}\cdot\frac{x-\dfrac{\pi}{3}}{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=

    dopodiché scriviamo il secondo fattore come uno sul proprio reciproco

    =\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}\cdot\frac{1}{\dfrac{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}}=

    Spezziamo il limite nel prodotto dei limiti

    =\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}\cdot\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{1}{\dfrac{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}}

    e osserviamo che:

    \lim_{x\to \tfrac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}=

    è il limite del rapporto incrementale del coseno centrato in x_0=\frac{\pi}{3} e coincide con la derivata del coseno, valutata in \frac{\pi}{3}

    =-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

    Per quanto riguarda il limite

    \lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{1}{\dfrac{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}}=

    al denominatore c'è il rapporto incrementale del seno centrato in x_0=\frac{\pi}{3}: nel momento in cui x\to\frac{\pi}{3}, esso tende alla derivata del seno, valutata in \frac{\pi}{3}

    =\frac{1}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{\dfrac{1}{2}}=2

    Abbiamo tutti gli elementi per calcolare il prodotto di limiti:

    \\ \overbrace{\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}}^{=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot\overbrace{\lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{1}{\dfrac{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{x-\dfrac{\pi}{3}}}}^{=2}=\\ \\ \\ =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=-\sqrt{3}

    Teorema di De l'Hopital

    Sebbene la traccia ci impedisca di usare il teorema di De l'Hopital, riportiamo anche questa strategia

    \lim_{x\to\tfrac{\pi}{3}}\frac{\cos(x)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=^{H}\lim_{x\to \tfrac{\pi}{3}}\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=\\ \\ \\ =\frac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2=-\sqrt{3}

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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