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  • Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è una tecnica per studiare i massimi e minimi vincolati di una funzione a più variabili in riferimento ad un vincolo espresso mediante una o più equazioni, che individuano il vincolo come luogo geometrico di zeri.

    Prima di tutto vediamo cosa dice il teorema in termini formali.

    Moltiplicatori di Lagrange in due variabili con un vincolo

    Sia f:A\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} una funzione definita su un aperto A\subseteq\mathbb{R}^2, e sia g(x,y)=0 un vincolo espresso sotto forma di luogo geometrico. Supponiamo che f,g\in C^1(A), ossia che siano funzioni che ammettono derivate parziali continue su A.

    Condizione necessaria ma non sufficiente affinché (x_0,y_0)\in A sia un punto di estremo relativo per f rispetto al vincolo g(x,y)=0 è che sussistano le seguenti condizioni:

    1) g(x_0,y_0)=0 e che inoltre il gradiente di g in (x_0,y_0) non sia nullo: \nabla g(x_0,y_0)\neq 0

    2) Definita la funzione lagrangiana

    L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)

    esista un valore reale \lambda_0 tale per cui sia nullo il gradiente di L in (x_0,y_0,\lambda_0)

    \nabla L(x_0,y_0,z_0)

    In particolare la variabile \lambda è detta moltiplicatore di Lagrange.

    Come usare i moltiplicatori di Lagrange e a cosa servono

    Ok, ora che abbiamo scritto l'enunciato del teorema dei moltiplicatori di Lagrange vogliamo capire a cosa serve e come si usa.

    Esso ci permette di considerare una particolare funzione ausiliaria (la lagrangiana L) e stabilisce che, studiando i massimi e minimi in due variabili di tale funzione, intesi come massimi e minimi liberi, riusciamo ad individuare i punti di estremo relativo per la funzione f(x,y) rispetto al vincolo g(x_0,y_0).

    Nota che ho scritto individuare e non classificare. Avendo a disposizione i punti di estremo relativo vincolati, dovremo poi appoggiarci ad ulteriori considerazioni analitiche per classificarne la natura.

    Riguardo all'uso dei moltiplicatori di Lagrange è sufficiente saper determinare i massimi e minimi liberi della una funzione a tre variabili L(x,y,\lambda) con il solito metodo (punti stazionari dal gradiente nullo, studio della matrice hessiana) e quindi successivamente considerare i punti (x_0,y_0) a partire dai punti estremanti (x_0,y_0,\lambda_0) della funzione lagrangiana.

    Moltiplicatori di Lagrange in due variabili con più vincoli

    Nel caso fossero presenti diversi vincoli espressi sotto forma di luoghi geometrici

    \\ g_1(x,y)=0\\ \\ g_2(x,y)=0\\ \\ ...\\ \\ g_n(x,y)=0

    con ipotesi del tutto analoghe al teorema precedente dovremo studiare i massimi e minimi liberi della funzione lagrangiana

    L(x,y,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)=f(x,y)-\lambda_1g_1(x,y)-\lambda_2g_2(x,y)-...-\lambda_ng_n(x,y)

    Osservazione sul segno dei moltiplicatori di Lagrange

    È importante sottolineare che certi testi e riferimenti definiscono la funzione lagrangiana usando il segno più in luogo del segno meno. La scelta è del tutto arbitraria ed è irrilevante, perché i moltiplicatori di Lagrange finiscono con l'assorbire tale segno; ricorda sempre che sono le coordinate (x_0,y_0) ad individuare il punto di estremo relativo di f.

    Osservazione sui vincoli definiti mediante disequazioni

    Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange funziona solamente con i vincoli espressi sotto forma di equazioni; nel caso di problemi di massimo e minimo vincolati con vincoli definiti da disequazioni bisogna procedere con altre tecniche. A tal proposito ti rimando alla lettura della lezione sui massimi e minimi vincolati in due variabili.

    Moltiplicatori di Lagrange in tre variabili

    La logica del teorema si estende in modo analogo al caso di tre o più variabili. Per usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange in 3 variabili con un vincolo individuato da un luogo geometrico

    g(x,y,z)=0

    considereremo la funzione ausiliaria

    L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)

    Con più vincoli

    \\ g_1(x,y,z)=0\\ \\ g_2(x,y,z)=0\\ \\ ...\\ \\ g_n(x,y,z)=0

    lavoreremo su

    L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)=f(x,y,z)-\lambda_1g_1(x,y,z)-...-\lambda_ng_n(x,y,z)

    Esempi ed esercizi sui moltiplicatori di Lagrange

    Se vuoi consultare degli esempi svolti e degli esercizi risolti ti rimando alle schede di:

    - esercizi sui massimi e minimi vincolati

    - esercizi sui moltiplicatori di Lagrange

    Namasté! - Agente Ω

    Risposta di Omega
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