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  • Grazie per aver riaperto la domanda Wink arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Un bell'esercizio sui sottospazi vettoriali di spazi di matrici, vediamo come svolgerlo.

    Gli spazi di matrici sono individuati da

    W=\left\{\left[\begin{matrix}(a+2) & b \\ 0 & b\end{matrix}\right]\mbox{ t.c. }a,b\in\mathbb{R}\right\}

    T=\left\{\left[\begin{matrix}a & b \\ 2b & b\end{matrix}\right]\mbox{ t.c. }a,b\in\mathbb{R}\right\}                           

    1)verificare se essi sono sottospazi giustificando la risposta

    L'insieme W non è un sottospazio vettoriale, perchè non è chiuso rispetto alla somma di suoi elementi: se infatti sommi due generiche matrici di W, l'elemento di posto (1,1) sarà ...+4 e non ...+2.

    In alternativa, osserva che non è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.

    In alternativa, osserva che lo zero sello spazio non è contenuto in W.

    A tua scelta! Laughing

    L'insieme T invece è un sottospazio vettoriale, perché è lineare e contiene lo zero dello spazio (la matrice identicamente nulla).

    2)in caso affermativo determinarne una base e una dimensione

    Ci basta scrivere la generica matrice che definisce gli elementi di W come combinazione lineare di elementi linearmente indipendenti che generano l'intero spazio. Un modo molto semplice  consiste nello scrivere

    T=\left\{a\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{matrix}\right]+b\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 1\end{matrix}\right]\mbox{ t.c. }a,b\in\mathbb{R}\right\}                        

    Dunque il sottospazio ha dimensione 2 e ammette come base gli elementi che compaiono nella precedente combinazione lineare.

    3) Verifica:

    Basta osservare che l'elemento proposto si ottiene prendendo nella precedente combinazione lineare a=3,b=4 (si vede ad occhio) e che quindi ne costituiscono le coordinate rispetto alla base considerata.

    Se hai dubbi o perplessità, non esitare a chiedere 

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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