Calcolo area superficie totale parallelepipedo rettangolo

Avrei un problema sull'area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo da risolvere con i sistemi lineari. Le mie difficoltà risiedono essenzialmente nel capire quale sia il sistema risolvente, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Dato un parallelepipedo rettangolo di dimensioni , la diagonale misura . Sapendo che misura i di , che misura i di cui va aggiunto e che , calcolare l'area della superficie totale del parallelepipedo.

Grazie.

Domanda di pixetto

Soluzioni

La strategia migliore per risolvere il problema consiste nel determinare il sistema lineare nelle incognite , ossia le dimensioni del parallelepipedo rettangolo, estrapolando le opportune equazioni dal testo.
La traccia fornisce le relazioni che legano tra loro le incognite, infatti garantisce che:
Notiamo che è un valore noto e può essere tranquillamente rimpiazzato nell'ultima equazione, che diventa:
Tralasciando per il momento le unità di misura per non appesantire troppo le notazioni, il sistema lineare che consente di determinare le dimensioni del parallelepipedo è:
Possiamo avvalerci di diverse tecniche che consentono di risolverlo, tra cui il metodo di riduzione, il metodo del confronto o ancora il metodo di Cramer, però quello più immediato e che consente di raggiungere le soluzioni è certamente il metodo di sostituzione.
Di fatti sia l'incognita sia sono già espresse in termini dell'incognita , pertanto siamo già in grado di sostituirle nella terza equazione del sistema, il quale si riscrive nella forma equivalente come:
Il metodo di sostituzione ci ha quindi permesso di ricondurre l'ultima equazione a un'equazione di primo grado nell'incognita . Per determinarne la soluzione, calcoliamo prima di tutto il minimo comune multiplo tra i denominatori e svolgiamo i conti
A questo punto, moltiplichiamo per 7 i membri della terza equazione e sommiamo tra loro i monomi simili
Trasportiamo al primo membro cambiandolo di segno e sommiamolo algebricamente con ottenendo
Il valore dell'incognita di si ricava dividendo i due membri della terza equazione per 9
e sostituendolo nelle equazioni rimanenti, siamo in grado di calcolare i valori di
In definitiva, le dimensioni del solido sono:
Per calcolare la misura della superficie totale del parallelepipedo rettangolo, abbiamo bisogno sia dell'area della superficie laterale, sia dell'area della superficie di base.
L'area della superficie laterale si calcola moltiplicando la misura del perimetro di base per la lunghezza dell'altezza del parallelepipedo: se interpretiamo come dimensioni del rettangolo di base e come l'altezza del parallelepipedo, possiamo scrivere che:
Per quanto concerne la misura della superficie di base, è sufficiente usare la formula relativa all'area del rettangolo
Grazie alle due aree, possiamo finalmente determinare l'area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo mediante la somma tra la misura della superficie laterale e il doppio dell'area di base:
Ecco fatto!
Risposta di Ifrit