Punti di massimo e minimo assoluti su un intervallo

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Non riesco a capire come trovare i punti di massimo e di minimo assoluti su un intervallo per una data funzione. Vi posto un esercizio di quelli che devo fare per la preparazione sperando nella vostra spiegazione:

 

sia f:[1,6] → R data da f(x) = [3]√((x-5)^2). Determinare i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione sull'intervallo dato.

 

PS: si possono determinare anche i punti estremanti relativi in questo esercizio? Non mi chiedono quello ma vorrei sapere qual è la differenza al momento di andare a calcolarli.

Domanda di nea16

 
Soluzioni

  • Ciao Nea16, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega

  • Per trovare i massimi/minimi relativi o assoluti della funzione

    [3]√((x-5)^2)

    sull'intervallo considerato [1,6], studiamo il segno della derivata prima.

    Dato che l'intervallo è limitato e la funzione è ivi continua, il teorema di Weierstrass ci assicura l'esistenza di un massimo ed un minimo assoluti. Intanto valutiamo la funzione agli estrmi dell'intervallo

    f(1) = [3]√(16)

    f(6) = 1

    Ora calcoliamo la derivata prima (il dominio della funzione è tutto l'asse reale, quindi non dobbiamo "preoccuparci")

    f'(x) = (2)/(3[3]√(x-5))

    che è positiva, evidentemente, per x > 5 e negativa altrove. Quindi la funzione decresce tra 1 e 5 e poi cresce tra 5 e 6.

    Il minimo assoluto sull'intervallo si ottiene per x = 5, in cui la funzione vale 0.

    Per il massimo assoluto, dobbiamo confrontare i valori assunti dalla funzione agli estremi dell'intervallo, e si deduce che il massimo assoluto si ottiene per x = 1.

    Per distinguere tra estremanti assoluti e relativi, prova a leggere qui

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie  :) 

    Risposta di nea16
 
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