Soluzioni
  • L'esercizio chiede di determinare la diagonale di un parallelepipedo rettangolo dopo averne determinato le dimensioni a,\ b\ \mbox{e} \ c impostando un opportuno sistema lineare le cui equazioni sono fornite esplicitamente dal testo.

    La traccia infatti fornisce le tre equazioni

    \\ a=2b\\ \\ c=2a+2b+4\mbox{ cm}\\ \\ b+c=95\mbox{ cm}

    le quali vanno messe a sistema perché devono valere contemporaneamente. Per non appesantire troppo le notazioni, tralasciamo per il momento le unità di misura e scriviamo il sistema lineare:

    \begin{cases}a=2b\\ c=2a+2b+4\\ b+c=95\end{cases}

    Esistono diverse strategie che consentono di determinare le eventuali soluzioni, però il testo richiede di usare il metodo di Cramer. Per prima cosa scriviamo in forma normale il sistema, trasportando le incognite ai primi membri e i termini noti ai secondi

    \begin{cases}a-2b=0\\ 2a+2b-c=-4\\ b+c=95\end{cases}

    dopodiché associamo la matrice dei coefficienti che indichiamo con A. Essa è costruita secondo una semplice regola: la prima colonna è formata dai coefficienti di a, la seconda dai coefficienti di b e la terza dai coefficienti dell'incognita c

    A=\begin{bmatrix}1&-2&0\\ 2&2&-1\\ 0&1&1\end{bmatrix}

    Calcoliamo il determinante della matrice A usando la regola di Sarrus

    \\ D=\begin{vmatrix}1&-2&0\\ 2&2&-1\\ 0&1&1\end{vmatrix}= \\ \\ \\ =1\cdot 2\cdot 1+(-2)\cdot(-1)\cdot 0+0\cdot 2\cdot 1-[0\cdot 2\cdot 0+(-2)\cdot 2\cdot 1+1\cdot(-1)\cdot 1]=\\ \\=2-[-4-1]=7

    e poiché è diverso da zero, il sistema ammette certamente una e una sola soluzione: per determinarla abbiamo bisogno del determinante di a, quello di b e quello di c, che indichiamo con D_{a},\ D_{b}\ \mbox{e}\ D_{c}.

    Più esplicitamente:

    D_{a} è il determinante della matrice che si ottiene rimpiazzando la prima colonna di A con la colonna dei termini noti

    \\ D_{a}=\begin{vmatrix}0&-2&0\\ -4&2&-1\\ 95&1&1\end{vmatrix}= \\ \\ \\ =0\cdot 2\cdot 1+(-2)\cdot (-1)\cdot 95+0\cdot(-4)\cdot 1-[0\cdot 2\cdot 95+(-2)\cdot(-4)\cdot 1+0\cdot (-1)\cdot 1]=\\ \\=2\cdot 95-8=190-8=182

    D_{b} è invece il determinante della matrice che si ottiene sostituendo la seconda colonna di A con la colonna dei termini noti

    \\ D_{b}=\begin{vmatrix}1&0&0\\ 2&-4&-1\\ 0&95&1\end{vmatrix}=\\ \\ \\ =1\cdot(-4)\cdot 1+0\cdot (-1)\cdot 0+0\cdot 2\cdot 95-[0\cdot(-4)\cdot 0+0\cdot 2\cdot 1+1\cdot(-1)\cdot 95]= \\ \\ = -4+95=91

    D_{c} è  infine il determinante della matrice che si ottiene sostituendo la terza colonna di A con la colonna dei termini noti

    \\ D_{c}=\begin{vmatrix}1&-2&0\\ 2&2&-4\\0&1&95\end{vmatrix}= \\ \\ \\ =1\cdot 2\cdot 95+(-2)\cdot (-4)\cdot 0+0\cdot 2\cdot 1-[0\cdot 2\cdot 0+(-2)\cdot 2\cdot 95+1\cdot (-4)\cdot 1]=\\ \\ =190+384=574

    Avendo a disposizione tali valori, siamo finalmente in grado di determinare le incognite con le formule di Cramer

    \\ a=\frac{D_{a}}{D}=\frac{182}{7}=26 \\ \\ \\ b=\frac{D_{b}}{D}=\frac{91}{7}=13\\ \\ \\ c=\frac{D_{c}}{D}=\frac{574}{7}=82

    e dunque possiamo asserire che le dimensioni del parallelepipedo rettangolo sono

    a=26\mbox{ cm}\ \ \ ; \ \ \ b=13\mbox{ cm} \ \ \ ; \ \ \ c=82\mbox{ cm}

    Tali dimensioni consentono di calcolare la diagonale del parallelepipedo: esse infatti consentono di applicare la formula

    \\ d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(26\mbox{ cm})^2+(13\mbox{ cm})^2+(82\mbox{ cm})^2}= \\ \\ =\sqrt{7569\mbox{ cm}^2}=87\mbox{ cm}

    L'esercizio è concluso, ma prima di mettere un punto alla risoluzione, è opportuno effettuare una piccola precisazione: la formula usata per calcolare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo discende direttamente dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo i cui cateti sono la diagonale di base e l'altezza del parallelepipedo rettangolo.

    Risposta di Ifrit
 
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