Soluzioni
  • Per risolvere il problema, consideriamo la generica retta del fascio di rette

    (2+k)x - 3y +15 +3k = 0

    e mettiamola a sistema con l'equazione y=0, trovando

    x=-\frac{15+3k}{2+k}

    per cui le coordinate di tale punto sono della forma \left(-\frac{15+3k}{2+k},0\right) e tenendo conto che dobbiamo rimanere nel terzo quadrante, deve essere x\leq 0.

    Poi mettiamo a sistema l'equazione del fascio con l'equazione x=0, trovando

    y=5+k

    per cui abbiamo il punto (0,5+k) e tenendo conto che dobbiamo rimanere nel terzo quadrante, quindi deve essere y\leq 0.

    A questo punto calcoliamo l'area del triangolo:

    A=\frac{cateto_1\cdot cateto_2}{2}

    Dato che parliamo di lunghezze dei cateti, dobbiamo considerare i valori assoluti

    \frac{1}{2}\left|\frac{15+3k}{2+k}\right|\cdot |5+k|=\frac{6}{5}

    cioè, grazie ad una proprietà del valore assoluto

    \frac{1}{2}\left|\frac{15+3k}{2+k}\cdot (5+k)\right|=\frac{6}{5}

    Effettuiamo un piccolo raccoglimento totale e riscriviamola come

    \frac{1}{2}\left|3\frac{5+k}{2+k}\cdot (5+k)\right|=\frac{6}{5}

    ossia

    \frac{1}{2}\left|3\frac{(5+k)^2}{2+k}\right|=\frac{6}{5}

    Ancora una volta, grazie alle proprietà del modulo, passiamo a

    \frac{3}{2}(5+k)^2\left|\frac{1}{2+k}\right|=\frac{6}{5}

    Risolvendo questa equazione con valore assoluto, si trovano i valori di k che individuano le rette possibili.

    A quel punto, sostituisci i valori di k nelle coordinate dei punti di intersezione con gli assi e scegli i valori che rendono le coordinate negative: quei valori di k sono i valori cercati.

    A proposito: le soluzioni dell'equazione sono k=-7,\ k=-19/5. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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