Retta di un fascio che forma un triangolo di area assegnata

Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio sui fasci di rette, che assegna l'equazione di un fascio proprio e chiede di determinare la retta del fascio che forma con gli assi cartesiani, nel terzo quadrante, un triangolo di area 6/5.

Ecco la traccia del problema.

Nel fascio di rette di equazione

determinare la retta che forma con gli assi cartesiani, nel terzo quadrante, un triangolo di area 6/5.

Domanda di 20elena02

Soluzioni

Ci viene assegnata l'equazione del fascio di rette
e dobbiamo determinare la retta che forma con gli assi cartesiani, nel terzo quadrante, un triangolo di area 6/5.
Procediamo!
La prima cosa da fare è calcolare le coordinate cartesiane dei punti di intersezione tra le infinite rette del fascio e gli assi cartesiani.
Mettiamo a sistema l'equazione del fascio con l'equazione dell'asse delle ascisse
e troviamo gli infiniti punti
Analogamente, mettiamo a sistema l'equazione del fascio con l'equazione dell'asse delle ordinate
e troviamo gli infiniti punti
Sappiamo che il triangolo deve appartenere al terzo quadrante, dove ascissa e ordinata sono entrambe negative. Di conseguenza imponiamo che l'ascissa di e che l'ordinata di siano negative.
La prima è una disequazione fratta, che ha per soluzioni
La seconda è una disequazione di primo grado, verificata per
Di conseguenza le soluzioni del sistema di disequazioni sono
A questo punto calcoliamo l'area del triangolo che ha come vertici i punti e l'origine degli assi, che chiamiamo .
Evidentemente si tratta di un triangolo rettangolo che ha come cateti i segmenti e .
Calcoliamone le misure applicando la formula per la distanza tra due punti allineati (osserviamo infatti che i punti e hanno la stessa ordinata, mentre i punti e hanno la stessa ascissa)
Applichiamo poi la formula dell'area del triangolo rettangolo, ossia dividiamo per 2 il prodotto tra le misure dei cateti
il prodotto di due valori assoluti è uguale al valore assoluto del prodotto
Raccogliamo a fattor comune 3 e portiamolo fuori dal valore assoluto
e riscriviamo l'argomento del valore assoluto come segue
Portiamo il quadrato fuori dal valore assoluto (possiamo farlo perché è una quantità non negativa)
In definitiva l'area del triangolo è data da
Imponiamo che sia uguale a e otteniamo la seguente equazione con valore assoluto:
le cui soluzioni sono
Tra esse l'unica accettabile è , infatti avevamo precedentemente trovato le seguenti condizioni su , che garantivano l'appartenenza del triangolo al terzo quadrante:
Sostituiamo allora nell'equazione del fascio di rette
e otteniamo la retta cercata, che ha equazione:
È tutto!
Risposta di Galois