Soluzioni
  • Il problema può essere agilmente risolto impostando un opportuno sistema lineare di due equazioni in due incognite. Per esplicitarlo abbiamo la necessità di leggere attentamente ogni frase del testo e tradurla nel linguaggio matematico.

    Indichiamo con \alpha l'ampiezza del diedro minore, con \beta l'ampiezza di quello maggiore, dopodiché osserviamo che poiché i due diedri sono adiacenti, la loro somma deve essere pari a un angolo piatto, di ampiezza 180^{\circ}:

    \alpha+\beta=180^{\circ}

    La traccia fornisce inoltre un'ulteriore informazione: il doppio dell'ampiezza del minore supera di 27^{\circ} l'ampiezza del maggiore. Essa si traduce nella relazione

    2\alpha=\beta+27^{\circ}

    Le due equazioni devono valere contemporaneamente, ecco perché mettiamo a sistema

    \begin{cases}\alpha+\beta=180^{\circ}\\ 2\alpha=\beta+27^{\circ}\end{cases}

    Per determinare le ampiezze dei due diedri bisogna quindi risolvere il sistema lineare nelle incognite \alpha\ \mbox{e} \ \beta che possiamo esprimere in forma normale trasportando al primo membro i termini con le incognite, al secondo i termini noti

    \begin{cases}\alpha+\beta=180^{\circ}\\ 2\alpha-\beta=27^{\circ}\end{cases}

    Esistono diverse strategie che permettono di ottenere i valori delle incognite e la più semplice (e comoda in questo caso) consiste nel procedere con il metodo di sostituzione. In buona sostanza bisogna esprimere un'incognita in termini dell'altra da un'equazioni, dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nell'equazione rimanente così da ottenere un'equazione di primo grado in una sola incognita.

    La scelta dell'incognita e dell'equazione sono a nostra discrezione e non modifica in alcun modo l'insieme delle soluzioni. A titolo di esempio, isoliamo l'incognita \beta dalla prima equazione

    \begin{cases}\beta=180^{\circ}-\alpha\\ 2\alpha-\beta=27^{\circ}\end{cases}

    dopodiché sostituiamo l'espressione nella seconda

    \begin{cases}\beta=180^{\circ}-\alpha\\ 2\alpha-(180^{\circ}-\alpha)=27^{\circ}\end{cases}

    Sfruttiamo a dovere la regola dei segni e sbarazziamoci delle parentesi tonde

    \begin{cases}\beta=180^{\circ}-\alpha\\ 2\alpha-180^{\circ}+\alpha=27^{\circ}\end{cases}

    L'ultima è chiaramente un'equazione di primo grado nell'incognita \alpha che risolviamo sommando tra loro i monomi simili e trasportando al secondo membro i termini noti

    \begin{cases}\beta=180^{\circ}-\alpha\\ 3\alpha=207^{\circ}\end{cases}

    Non ci resta che dividere i due membri della seconda equazione per 3 e ricavare l'ampiezza del diedro minore

    \begin{cases}\beta=180^{\circ}-\alpha\\ \alpha=69^{\circ}\end{cases}

    Per ottenere invece l'ampiezza del diedro maggiore, è sufficiente sostituire 69^{\circ} a ogni occorrenza di \alpha nella prima equazione e svolgere i calcoli

    \begin{cases}\beta=180^{\circ}-69^{\circ}=111^{\circ}\\ \alpha=69^{\circ}\end{cases}

    Possiamo concludere quindi che le ampiezze dei due diedri \alpha \ \mbox{e} \ \beta sono rispettivamente:

    \alpha=69^{\circ} \ \ \ ; \ \ \ \beta= 111^{\circ}

    Il problema è risolto.

    Risposta di Ifrit
 
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