Problema sulla somma di due diedri

Il problema può essere agilmente risolto impostando un opportuno sistema lineare di due equazioni in due incognite. Per esplicitarlo abbiamo la necessità di leggere attentamente ogni frase del testo e tradurla nel linguaggio matematico.

Indichiamo con l'ampiezza del diedro minore, con l'ampiezza di quello maggiore, dopodiché osserviamo che poiché i due diedri sono adiacenti, la loro somma deve essere pari a un angolo piatto, di ampiezza :

La traccia fornisce inoltre un'ulteriore informazione: il doppio dell'ampiezza del minore supera di l'ampiezza del maggiore. Essa si traduce nella relazione

Le due equazioni devono valere contemporaneamente, ecco perché mettiamo a sistema

Per determinare le ampiezze dei due diedri bisogna quindi risolvere il sistema lineare nelle incognite che possiamo esprimere in forma normale trasportando al primo membro i termini con le incognite, al secondo i termini noti

Esistono diverse strategie che permettono di ottenere i valori delle incognite e la più semplice (e comoda in questo caso) consiste nel procedere con il metodo di sostituzione. In buona sostanza bisogna esprimere un'incognita in termini dell'altra da un'equazioni, dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nell'equazione rimanente così da ottenere un'equazione di primo grado in una sola incognita.

La scelta dell'incognita e dell'equazione sono a nostra discrezione e non modifica in alcun modo l'insieme delle soluzioni. A titolo di esempio, isoliamo l'incognita dalla prima equazione

dopodiché sostituiamo l'espressione nella seconda

Sfruttiamo a dovere la regola dei segni e sbarazziamoci delle parentesi tonde

L'ultima è chiaramente un'equazione di primo grado nell'incognita che risolviamo sommando tra loro i monomi simili e trasportando al secondo membro i termini noti

Non ci resta che dividere i due membri della seconda equazione per 3 e ricavare l'ampiezza del diedro minore

Per ottenere invece l'ampiezza del diedro maggiore, è sufficiente sostituire a ogni occorrenza di nella prima equazione e svolgere i calcoli

Possiamo concludere quindi che le ampiezze dei due diedri sono rispettivamente:

Il problema è risolto.